Η Εικασία του Goldbach – Ένα από τα Μεγάλα Άλυτα Προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών

Η Εικασία του Goldbach είναι μια από τις πιο διάσημες και παλαιότερες άλυτες ερωτήσεις της Θεωρίας Αριθμών. Διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1742 από τον Γερμανό μαθηματικό Christian Goldbach, σε επιστολή προς τον Euler.

Η διατύπωση είναι απλή αλλά εντυπωσιακή:

Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.

Παραδείγματα:

$$4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,$$$$12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11.$$

και για πιο μεγάλους αριθμούς:

$$100=97+3,1526=1453+73,$$$$389965026819938=5569+389965026814369.$$

Παρά την απλότητα της διατύπωσης, δεν υπάρχει μέχρι σήμερα πλήρης απόδειξη. Η Εικασία ανήκει στα τέσσερα μεγάλα προβλήματα του Landau, που ανακοινώθηκαν στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών το 1912 και παραμένουν άλυτα:

1. Η Εικασία των Δίδυμων Πρώτων.

2. Η Εικασία του Goldbach.

3. Υπάρχει πάντα πρώτος αριθμός ανάμεσα σε $n^2$ και $(n+1)^2$.

4. Το πρόβλημα των τέλειων αριθμών.

Σημαντικά επιτεύγματα έχουν γίνει όσον αφορά την Εικασία του Goldbach:

• Έχει επαληθευθεί υπολογιστικά για όλους τους άρτιους αριθμούς μέχρι το τεράστιο όριο του  $10^{18}$.

• Υπάρχει η ασθενής εκδοχή της εικασίας, γνωστή και ως «Τριπλή Εικασία του Goldbach», που αποδείχθηκε το 2013 από τον Harald Helfgott: κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 5 είναι άθροισμα τριών πρώτων αριθμών.

• Πολλές προσεγγίσεις έχουν βελτιώσει τα όρια, αλλά μια πλήρης απόδειξη ή διάψευση δεν υπάρχει.

Η γοητεία της εικασίας βρίσκεται στο γεγονός ότι συνδέει δύο απλές έννοιες — τους άρτιους αριθμούς και τους πρώτους — με έναν τρόπο που φαίνεται προφανής αλλά αποδεικνύεται εξαιρετικά δύσκολος για τα μαθηματικά εργαλεία μας.

Η Εικασία του Goldbach αποτελεί λαμπρό παράδειγμα ενός «εύκολου να διατυπωθεί, δύσκολου να αποδειχθεί» προβλήματος, που εξακολουθεί να εμπνέει μαθηματικούς εδώ και σχεδόν τρεις αιώνες.