Αριθμοί Ταξί: Παραδείγματα, Ιστορία Hardy–Ramanujan και Αναλύσεις σε Κύβους

🔹 Τι είναι οι Αριθμοί Ταξί (Taxicab Numbers);

Ένας αριθμός ταξί Ta(n) (ή αριθμός Hardy–Ramanujan) ορίζεται ως ο μικρότερος θετικός ακέραιος που μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο κυβικών αριθμών με n διαφορετικούς τρόπους.

---

Η Διάσημη Ιστορία με τον 1729

• Το 1918, ο μαθηματικός G. H. Hardy επισκέφθηκε τον Srinivasa Ramanujan στο νοσοκομείο.

• Πήγε με ταξί αριθμού 1729 και σχολίασε πως ήταν ένας “αδιάφορος” αριθμός.

• Ο Ramanujan απάντησε:

  «Όχι, είναι ένας πολύ ενδιαφέρον αριθμός», γιατί:

$$1729=1^3+{12}^3=9^3+{10}^3$$

Δηλαδή, ο 1729 είναι ο μικρότερος αριθμός που γράφεται ως άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους.

---

🔹 Οι Πρώτοι Αριθμοί Ταξί

n	Ta(n)	Αναλύσεις σε Κύβους
2	1729	1³ + 12³ = 9³ + 10³
3	87 539 319	167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³
4	6 963 472 309 248	4 διαφορετικοί τρόποι
5	48 988 659 276 962 496	5 διαφορετικοί τρόποι
6	>1018	Άγνωστος ακριβώς

• Για κάθε n ≥ 1, υπάρχει θεωρητικά ένας Ta(n), αλλά οι μεγαλύτεροι είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογιστούν.
• Ο Ta(6) παραμένει άγνωστος με ακρίβεια· οι υπολογισμοί τον τοποθετούν περίπου στο 10²².

---

🔹 Γιατί λέγονται “Αριθμοί Ταξί”;

Η ονομασία προέρχεται από την ιστορία με το ταξί του Hardy. Δεν έχει καμία σχέση με την πραγματική γεωμετρία των ταξί ή τους δρόμους.

---

🔹 Επεκτάσεις

• Cabtaxi Numbers: Αν επιτρέψουμε και αρνητικούς κύβους, βρίσκουμε μικρότερους αριθμούς που εκφράζονται με περισσότερους τρόπους.
  Π.χ., Cabtaxi(3) = 728, επειδή:

  $$6^3+8^3=9^3-1^3={12}^3-{10}^3$$