Από τον Hermite στον Hadamard: Μια Ανισότητα που Άφησε Ιστορία

Η ανισότητα Hermite–Hadamard είναι ένα κλασικό αποτέλεσμα της μαθηματικής ανάλυσης που αφορά κυρτές συναρτήσεις και παρέχει ένα εκτιμητικό όριο για το ολοκλήρωμα μιας τέτοιας συνάρτησης. 

Πήρε το όνομά της από τους Γάλλους μαθηματικούς Σαρλ Ερμίτ (Charles Hermite, 1822–1901), ο οποίος την παρουσίασε πρώτος το 1883, και Ζακ Ανταμάρ (Jacques Hadamard, 1865–1963), ο οποίος την ανακάλυψε εκ νέου και τη διατύπωσε με πιο γενικό τρόπο το 1893.

Συγκεκριμένα, η ανισότητα εκφράζει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση $f$, ο μέσος όρος της τιμής της στα άκρα ενός διαστήματος είναι μικρότερος ή ίσος από τον μέσο όρο της στο ίδιο το διάστημα. Δηλαδή, για $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ κυρτή, ισχύει:

$$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$$