K - Ακολουθίες σε πλέγμα 8 × 8

Έστω $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ και

$$M=\{(x,y)\mid x\in A,y\in A\}\mathrm{.}$$

Από το $M$ επιλέγουμε $n$ σημεία ώστε να σχηματίσουμε μια ακολουθία

$$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n),$$

στην οποία κάθε δύο διαδοχικοί όροι $(x_i,y_i)$, $(x_{i+1},y_{i+1})$ ικανοποιούν μία από τις δύο συνθήκες:

$$\mid x_{i+1}-x_i\mid =3\text{ και }\mid y_{i+1}-y_i\mid =4\; ή \mid x_{i+1}-x_i\mid =4\text{ και }\mid y_{i+1}-y_i\mid =3.$$

Μια τέτοια ακολουθία θα λέγεται K-ακολουθία.

1. Αν ο πρώτος όρος μιας K-ακολουθίας είναι $(3,3)$, να βρεθεί ο δεύτερος όρος.

2. Έστω $\tau$ μια K-ακολουθία με την ιδιότητα: για περιττό $i$, $x_i\in\{1,2,7,8\}$, ενώ για άρτιο $i$, $x_i\in\{3,4,5,6\}$. Να κριθεί αν τα σημεία $(3,2)$ και $(4,4)$ μπορούν και τα δύο να εμφανιστούν στην $\tau$, και να αιτιολογήσετε.

3. Να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατό όλα τα στοιχεία του $M$ να σχηματίσουν μία και μόνη K-ακολουθία.

2025 Beijing Exam