Κύκλοι και σημεία σε τετραγωνικό πλέγμα: γιατί δεν γίνεται με 5;

Κύκλοι και σημεία σε τετραγωνικό πλέγμα

Σε ένα τετραγωνικό πλέγμα (δηλαδή τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες, το $\mathbb{Z}^2$), ένας κύκλος μπορεί να περάσει:

• από 2 σημεία: προφανώς, κάθε ζεύγος σημείων ορίζει άπειρους κύκλους (αρκεί να μετακινήσουμε το κέντρο).

• από 3 σημεία: καθορίζεται μοναδικός κύκλος, εκτός αν είναι συνευθειακά.

• από 4 σημεία: συμβαίνει συχνά, π.χ. το τετράγωνο ${(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}$ βρίσκεται σε κύκλο.

---

Τι γίνεται με 5 σημεία;

Εδώ βρίσκεται το «κόλπο»:

• Είναι αδύνατο να υπάρξει κύκλος που περνά από ακριβώς 5 σημεία του τετραγωνικού πλέγματος.

Γιατί;

1. Κάθε κύκλος που περνά από 4 σημεία του πλέγματος, συχνά (λόγω συμμετρίας και των εξισώσεων με ακέραιους) «αναγκάζεται» να περνά και από 6ο σημείο.

2. Υπάρχει μάλιστα και γενικότερο θεώρημα:

   • Ένας κύκλος μπορεί να περάσει από το πολύ 4 σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.

   • Αν περάσει από περισσότερα, τότε δεν σταματά εκεί: περιέχει άπειρα σημεία (όπως οι κύκλοι με ακέραιες ακτίνες σχετικές με Πυθαγόρεια τριπλέτα).

Έτσι, δεν υπάρχει περίπτωση με μόνο 5 σημεία.

---

✅ Τελικό Συμπέρασμα:

Σε τετραγωνικό πλέγμα, ένας κύκλος μπορεί να περάσει από 2, 3 ή 4 σημεία, ή από άπειρα — αλλά ποτέ από ακριβώς 5.