🔢 Τι είναι οι αριθμοί Lucas;

Οι περισσότεροι γνωρίζουν τους διάσημους αριθμούς Fibonacci, που εμφανίζονται παντού στη φύση και στη μαθηματική θεωρία. Λιγότερο γνωστή, αλλά εξίσου συναρπαστική, είναι η «αδελφή» ακολουθία τους: οι αριθμοί Lucas.

---

Οι Αριθμοί Fibonacci

Πριν γνωρίσουμε τους αριθμούς Lucas, ας θυμηθούμε τους Fibonacci.

Η Ακολουθία Fibonacci ξεκινά με τις αρχικές συνθήκες:

$$F_0=0,F_1=1$$

Και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων:

$$F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$$

Έτσι έχουμε:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Η ακολουθία αυτή είναι διάσημη επειδή εμφανίζεται στη φύση:
🌻 Στο μοτίβο των ηλίανθων
🌲 Στην ανάπτυξη των κλαδιών των δέντρων

🐌 Στο σχήμα του κελύφους σαλιγκαριών και σε πολλές ακόμα περιπτώσεις.

---

Οι Αριθμοί Lucas

Οι αριθμοί Lucas ακολουθούν την ίδια αναδρομική σχέση με τους Fibonacci, αλλά ξεκινούν με διαφορετικές αρχικές συνθήκες:

$$L_0 = 2, \quad L_1 = 1$$

Άρα:

$$L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$$

Η ακολουθία ξεκινά ως εξής:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …

Παρατηρούμε ότι:

• Ο 3ος όρος (3) = 2 + 1

• Ο 4ος όρος (4) = 3 + 1

• Ο 5ος όρος (7) = 4 + 3 και ούτω καθεξής.

---

Σχέση Fibonacci και Lucas

Οι αριθμοί Lucas έχουν παρόμοιες ιδιότητες με τους Fibonacci:

1. Εμφανίζονται σε προβλήματα θεωρίας αριθμών και συνδυαστικής.

2. Έχουν στενή σχέση με τη Χρυσή Τομή (φ).

3. Η αναλογία δύο διαδοχικών όρων $\frac{L_{n+1}}{L_n}$ τείνει και αυτή στο φ καθώς $n \to \infty$.

Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα σύνδεσης:

$$L_n=F_{n-1}+F_{n+\mathrm{1}}$$

Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός Lucas μπορεί να εκφραστεί με όρους Fibonacci!

---

🏁 Συμπέρασμα

Οι αριθμοί Lucas είναι ο «κρυφός συγγενής» των Fibonacci, με κοινές μαθηματικές ρίζες και πλούσιες εφαρμογές.

Αν αγαπάτε τα μαθηματικά μοτίβα, αξίζει να εξερευνήσετε αυτήν την κομψή ακολουθία, που βρίσκεται σε πολλές γωνιές της θεωρίας αριθμών και της φύσης.