Δύο γραμματοκιβώτια, N γράμματα και η αναμενόμενη ισορροπία 📬📦

Ένας ταχυδρόμος φέρνει $N$ γράμματα σε ένα σπίτι που έχει δύο γραμματοκιβώτια. Η διαδικασία έχει ως εξής:

1. Αρχικά, τα δύο κουτιά είναι άδεια.

   

2. Ο ταχυδρόμος βάζει 1 γράμμα σε κάθε κουτί.

3. Από το 3ο γράμμα και μετά, κάθε φορά:

   • Επιλέγει ένα από τα δύο κουτιά με πιθανότητα ανάλογη με τον αριθμό των γραμμάτων που ήδη έχει το κουτί.

   • Στο επιλεγμένο κουτί βάζει το επόμενο γράμμα.

4. Συνεχίζει τη διαδικασία μέχρι να τοποθετήσει όλα τα $N$ γράμματα.

Ερώτημα:

Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός γραμμάτων στο κουτί που θα καταλήξει να έχει τα λιγότερα γράμματα;