EisatoponAI: 🔷 Parry Point και Parry Circle: Μια Κρυφή Συμφωνία στη Γεωμετρία των Τριγώνων

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, κάθε τρίγωνο είναι ένα μικρό σύμπαν γεμάτο από κέντρα, σημεία και κύκλους που αποκαλύπτουν την εσωτερική του συμμετρία.

Ανάμεσα στα πιο σπάνια αλλά ενδιαφέροντα γεωμετρικά στοιχεία βρίσκονται το Parry point και ο κύκλος Parry — μια «δυάδα» που συνδέει το βαρύκεντρο, τα ισοδυναμικά σημεία και τον περιγεγραμμένο κύκλο σε μια αρμονική γεωμετρική σχέση.

📌 Ορισμός του Κύκλου Parry

Ο κύκλος Parry είναι ένας μοναδικός κύκλος που:

Διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου.
Περιλαμβάνει τα δύο ισοδυναμικά σημεία, τα οποία έχουν αξιοσημείωτες ιδιότητες συμμετρίας.
Συχνά περνάει και από άλλα σημαντικά σημεία, όπως το σημείο Fermat, το σημείο Lemoine ή το σημείο Brocard.

Ο κύκλος αυτός λειτουργεί σαν γέφυρα ανάμεσα σε διαφορετικά γεωμετρικά «στρώματα» του τριγώνου.

📍 Το Parry Point

Το Parry point είναι το σημείο τομής του κύκλου Parry με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος περνάει από τις κορυφές $A$ , $B$ , $C$ .
Ο κύκλος Parry περνάει από το βαρύκεντρο και τα ισοδυναμικά σημεία.
Η τομή τους ορίζει το Parry point, ένα σημείο που ενώνει την εσωτερική και εξωτερική γεωμετρία του τριγώνου.

📐 Τριγραμμικές Συντεταγμένες

Για τρίγωνο με πλευρές $a$ , $b$ , $c$ , οι τριγραμμικές συντεταγμένες του Parry point είναι:

$\frac{a}{2 a^{2} - b^{2} - c^{2}} : \frac{b}{2 b^{2} - c^{2} - a^{2}} : \frac{c}{2 c^{2} - a^{2} - b^{2}}$

Αυτός ο τύπος μάς δίνει τη γεωμετρική θέση του σημείου ως λόγους αποστάσεων από τις πλευρές.

🔬 Θεωρητική Σημασία

Συμμετρία & Ισορροπία → Το Parry point συνδέει σημεία με διαφορετική φύση, όπως το βαρύκεντρο και τα ισοδυναμικά σημεία.
Σχέσεις με άλλα κέντρα → Συνδέεται με κέντρα όπως το Kimberling X(111), παίζοντας σημαντικό ρόλο στη μελέτη των 100+ γνωστών κέντρων τριγώνων.
Δυνατότητα κατασκευής → Με λογισμικά όπως GeoGebra μπορείς να το οπτικοποιήσεις εύκολα.