Το Θεώρημα Pick: Υπολογισμός Εμβαδού Πολυγώνων σε Πλέγμα

Στα μαθηματικά, ένα σημείο πλέγματος (lattice point) είναι ένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες. Ένα πολύγωνο πλέγματος έχει κορυφές σε τέτοια σημεία και πλευρές που είναι ευθύγραμμα τμήματα. 

Το θεώρημα του Pick δίνει έναν κομψό τύπο για το εμβαδόν τους, βασισμένο μόνο στον αριθμό των εσωτερικών και των οριακών σημείων του πλέγματος:

$$\text{Εμβαδόν}=I+\frac{B}{2}-1$$

όπου:

• $I$ = αριθμός εσωτερικών σημείων του πλέγματος (lattice points) μέσα στο πολύγωνο

• $B$ = αριθμός σημείων του πλέγματος πάνω στο περίγραμμα του πολυγώνου

📌 Παράδειγμα:
Αν ένα πολύγωνο έχει $I = 5$ και $B = 12$, τότε

$$E=14+\frac{12}{2}-1=14+6-1=19$$

οπότε το εμβαδόν είναι 19 μονάδες².