Russell’s Paradox: Το Παράδοξο που Άλλαξε τη Θεωρία Συνόλων

Το Παράδοξο του Russell, που αποδίδεται στον Bertrand Russell (1901), υπήρξε μία από τις βασικές αφορμές για την αξιωματικοποίηση της θεωρίας συνόλων.

Εκφώνηση

Θεωρούμε την ιδιότητα $P(x): \; x \notin x$. Ορίζουμε το σύνολο

$$C=\{x\mid x\mathrm{\notin }x\}\mathrm{.}$$

Τίθεται το ερώτημα: έχει το $C$ την ιδιότητα $P$;

• Αν υποθέσουμε ότι έχει την ιδιότητα, τότε $C \in C$ δεν ισχύει· άρα δεν ανήκει στον εαυτό του, παρόλο που πληροί το κριτήριο συμμετοχής — αντίφαση.

• Αν υποθέσουμε ότι δεν έχει την ιδιότητα, τότε $C \notin C$ δεν ισχύει· άρα πρέπει να ανήκει στον εαυτό του, παρόλο που δεν πληροί το κριτήριο — επίσης αντίφαση.

Έτσι καταλήγουμε σε ένα παράδοξο: το σύνολο $C$ δεν μπορεί να οριστεί χωρίς να οδηγεί σε αντίφαση.

Σημασία

Το Παράδοξο του Russell απέδειξε ότι οι απλοί ορισμοί συνόλων με τη μορφή «το σύνολο όλων των αντικειμένων που έχουν κάποια ιδιότητα» είναι προβληματικοί και μπορεί να οδηγήσουν σε αντιφάσεις. Αυτή η ανακάλυψη οδήγησε στην ανάγκη για ανάπτυξη προσεκτικότερων θεωριών συνόλων (π.χ. της αξιωματικής θεωρίας ZFC), που αποφεύγουν τέτοιου είδους παραδοξότητες.