EisatoponAI: Η Ανισότητα του Maclaurin

Η Ανισότητα του Maclaurin

Για μη αρνητικούς αριθμούς $x_1,x_2,…,x_n$, έστω ότι:

d_k = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}, \quad (k=1,2,\ldots,n).

Colin Maclaurin (1698–1746)

Τότε ισχύει η αλυσίδα ανισοτήτων:

d_{1} \geq d_{2}^{1 / 2} \geq d_{3}^{1 / 3} \geq \dots \geq d_{n}^{1 / n},

με ισότητα, αν και μόνο αν, όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι, δηλαδή $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ .

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Τράπεζα Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων:
Όλα τα θέματα από το 1985 έως σήμερα

Τράπεζα Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων: Όλα τα θέματα από το 1985 έως σήμερα