Γιατί Δεν Μπορούμε να Βρούμε το $\sqrt{7}$ σε Αυτό το Διάγραμμα

Στο τρισδιάστατο πλέγμα της εικόνας, όλες οι αποστάσεις υπολογίζονται με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Αν παρατηρήσουμε, οι ακέραιοι αριθμοί που εμφανίζονται μέσα στις ρίζες (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14…) προκύπτουν ως άθροισμα τριών τετραγώνων. Όμως, το 7 λείπει!

Κι αυτό δεν είναι τυχαίο: το θεώρημα των τριών τετραγώνων λέει ότι ένας θετικός ακέραιος δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τριών τετραγώνων αν και μόνο αν έχει τη μορφή:

$$n=4^a(8b+7)$$

Για το 7, έχουμε $7 = 4^0(8\cdot0 + 7)$, άρα είναι αδύνατο να εκφραστεί ως $x^2 + y^2 + z^2$.
Επομένως, σε ένα κυβικό πλέγμα, δεν υπάρχει σημείο με απόσταση $\sqrt{7}$ από την αρχή των αξόνων.