Ποιοι είναι οι Zuckerman Numbers;

Στη θεωρία αριθμών, ο Zuckerman αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος που διαιρείται ακριβώς από το γινόμενο των ψηφίων του.

Δηλαδή, για έναν ακέραιο n, αν το γινόμενο όλων των ψηφίων του είναι θετικό (δεν έχει μηδενικά) και 

$n \bmod (\text{γινόμενο ψηφίων}) = 0$ τότε  $n$ είναι  Zuckerman αριθμός.

---

Ορισμός

$$\text{Ζuckerman αριθμός \hspace{0.05em}}n⟺\prod (\text{ψηφία του }n)\mid n$$ (χωρίς να λαμβάνονται υπόψη νούμερα που περιέχουν ψηφίο 0.)

---

Παραδείγματα

• Όλοι οι μόνοψηφιοι αριθμοί (1 έως 9) είναι Zuckerman αριθμοί από ορισμό.

• Μερικοί πολυψήφιοι: $\; 11,\,12,\,15,\,24,\,36,\,128,\,384$ κ.α., διότι:

  • π.χ., $12$: $1 \times 2 = 2$; και $12$ διαιρείται ακριβώς από $2$.

  • π.χ., $384$: $3 \times 8 \times 4 = 96$; και $384 / 96 = 4$.

Οι πρώτοι αριθμοί της σειράς:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,15,24,36,111,112,115,128,132,135,144,175,212,216,…

---

Ιδιότητες & Θεωρητικές Προεκτάσεις

• Η σειρά Zuckerman αριθμών αναφέρεται ως [A007602] στην OEIS — Encyclopedia of Integer Sequences.

• Ερευνητικά αποτελέσματα δείχνουν ότι ο αριθμός Zuckerman αριθμών κάτω από το $x$, συμβολιζόμενος ως $|\mathcal{Z}_{10}(x)|$, ικανοποιεί:
  $$x^{0.204}<\mathrm{\mid }{\mathcal{Z}}_{10}(x)\mathrm{\mid }<x^{0.665\dots },$$ φανερώνοντας ότι δεν είναι ούτε πολύ σπάνιοι ούτε υπερβολικά συχνοί.