Η Αρρητότητα της Τετραγωνικής Ρίζας του 3

Να αποδειχθεί ότι η τυετραγωνκή ρίζα $\sqrt{3}$​ είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων $a/b$.

Απόδειξη

Υποθέτουμε ότι $\sqrt{3}$ είναι ρητός αριθμός:

$$\sqrt{3}=\frac{a}{b},$$

όπου $a,b$ είναι ακέραιοι χωρίς κοινό διαιρέτη (το κλάσμα είναι σε απλή μορφή).

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο:

$$3=\frac{a^2}{b^2}\quad \Rightarrow \quad a^2=3b^2. \tag{1}$$

Από την (1) προκύπτει ότι το $a^2$ είναι πολλαπλάσιο του 3, άρα και το $a$ είναι πολλαπλάσιο του 3 (θεώρημα για τους πρώτους). Έστω $a=3k$.
Τότε:

$$(3k{)}^2=3b^2\Rightarrow 9k^2=3b^2\Rightarrow b^2=3k^2\mathrm{.}$$

Άρα και το $b$ είναι πολλαπλάσιο του 3.

Συνεπώς τόσο το $a$ όσο και το $b$ έχουν κοινό παράγοντα το 3, σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση ότι $\tfrac{a}{b}$ είναι πλήρως απλοποιημένο.

Η αντίφαση αυτή δείχνει ότι η υπόθεση ήταν λανθασμένη. Επομένως:

$$\sqrt{3}\text{ είναι άρρητος αριθμός}\mathrm{.}$$