Είναι το Γινόμενο Όλων των Πρώτων Αριθμών Πραγματικά Ίσο με $4π^2$ ;

Κανονικοποίηση, απειρισμοί και μαθηματικά παράδοξα

Ο τίτλος είναι προκλητικός, αλλά η αλήθεια είναι πιο λεπτή: αυτή η ισότητα μπορεί να γίνει αποδεκτή μόνο αν ερμηνεύσουμε το σύμβολο «=» με έναν πολύ ειδικό τρόπο. Για να το καταλάβουμε, πρέπει να βάλουμε τα πράγματα στο σωστό πλαίσιο.

Το μυστικό των «άπειρων πράξεων»

Στα μαθηματικά υπάρχουν τεχνικές που μας επιτρέπουν να αθροίσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε άπειρους όρους με τέτοιον τρόπο ώστε, ενώ το αποτέλεσμα τυπικά τείνει στο άπειρο, να μπορούμε να του αποδώσουμε έναν πεπερασμένο αριθμητικό «αντίστοιχο».

Αυτό ονομάζεται κανονικοποίηση (regularization). Πρόκειται για έναν τρόπο να «εξάγουμε» από μια άπειρη έκφραση μια τιμή-υπόλειμμα που έχει νόημα και μάλιστα μπορεί να συσχετιστεί με πραγματικά φαινόμενα.

---

Παράδειγμα: $\,1 + 2 + 3 + 4 + \dots = -\tfrac{1}{12}$

Πριν από περίπου δέκα χρόνια, έγινε viral το γεγονός ότι οι φυσικοί χρησιμοποιούν την ισότητα

$$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12},$$

που βγαίνει από την αναλυτική συνέχεια της συνάρτησης ζήτα του Riemann. Δεν σημαίνει ότι το άθροισμα των φυσικών αριθμών είναι «κυριολεκτικά» $-\tfrac{1}{12}$, αλλά ότι η κανονικοποιημένη τιμή της σειράς έχει αυτήν την αναπαράσταση.

---

Τι γίνεται με το γινόμενο των πρώτων;

Ανάλογες ιδέες ισχύουν και για το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών. Μέσα από τη σχέση του Euler για τη ζήτα του Riemann:

$$\zeta (s)=\prod _{p\text{prime}}\frac{1}{1-p^{-s}},\mathrm{\Re }(s)>1,$$

και την αναλυτική συνέχισή της σε όλο το μιγαδικό επίπεδο, προκύπτει ότι με την κατάλληλη κανονικοποίηση:

$$\prod _{p\text{prime}}p=4{\pi }^2\mathrm{.}$$

---

Γιατί μας νοιάζει;

Αυτά τα «παράδοξα» αποτελέσματα δεν είναι μόνο θεωρητικά παιχνίδια:

• Εμφανίζονται στην κβαντική θεωρία πεδίου και στην κοσμολογία.

• Ενσωματώνονται σε μαθηματικά που σχετίζονται με τη θεωρία χορδών.

• Δείχνουν πόσο βαθιά είναι η σχέση ανάμεσα σε άπειρα αθροίσματα, γινόμενα και τις πιο θεμελιώδεις σταθερές όπως το $\pi$.

---

Συμπέρασμα

Το να ισχυριστούμε ότι «το γινόμενο όλων των πρώτων είναι ίσο με $4\pi^2$» είναι φυσικά παραπλανητικό αν το πάρουμε κυριολεκτικά. Όμως, μέσα στο πλαίσιο της αναλυτικής κανονικοποίησης και της θεωρίας ζήτα, αυτή η ταυτότητα αποκτά μαθηματικό νόημα.