Στερεά γωνία είναι το τμήμα της μοναδιαίας σφαίρας που «κόβει» ένα αντικείμενο, όταν το παρατηρούμε από ένα σημείο \(P\). Αποτελεί το τρισδιάστατο ανάλογο της επίπεδης γωνίας και μετριέται σε στερακτίνια (steradians, sr). Η ολική στερεά γωνία της μοναδιαίας σφαίρας είναι \(\Omega_{\text{total}}=4\pi~\text{sr}\).
Τυπικός ορισμός
Αν \(S\) είναι επιφάνεια στο χώρο και την παρατηρούμε από σημείο \(P\), η στερεά γωνία ορίζεται ως
\[\Omega=\iint_S \frac{\hat{\mathbf r}\cdot \hat{\mathbf n}}{r^2}\, d\Sigma,\]
όπου \(\hat{\mathbf r}\) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα από το \(P\) προς το στοιχειώδες εμβαδό \(d\Sigma\), \(\hat{\mathbf n}\) το μοναδιαίο κάθετο της επιφάνειας και \(r\) η απόσταση \(P\)–\(d\Sigma\). Για μικρές επιφάνειες σε απόσταση \(r\), ισχύει και το πρακτικό \(\Omega \approx \dfrac{A}{r^2}\).
Χρήσιμος τύπος για κυκλικό κώνο (γωνιακή ακτίνα \(\theta\))
Αν ένα αντικείμενο υποτείνει κυκλικό «κώνο θέασης» με γωνιακή ακτίνα \(\theta\) (σε ακτίνια), τότε η στερεά γωνία είναι
\[\Omega = 2\pi \bigl(1-\cos\theta\bigr)\,.\]
Για μικρές γωνίες, \(\cos\theta \approx 1-\tfrac{\theta^2}{2}\) και άρα \(\Omega \approx \pi \theta^2\).
Παράδειγμα: Ήλιος και Σελήνη
Από οποιοδήποτε σημείο της Γης, ο Ήλιος και η Σελήνη έχουν σχεδόν ίσες γωνιακές διαμέτρους (\(\approx 0.53^\circ\)), δηλαδή γωνιακή ακτίνα \(\theta \approx 0.265^\circ \approx 0.00463\) rad. Άρα
\[\Omega \approx \pi \theta^2 \approx \pi(0.00463)^2 \approx 6.7\times 10^{-5}\ \text{sr}.\]
Η σχεδόν ισότητα των στερεών γωνιών τους εξηγεί γιατί στις ολικές εκλείψεις η Σελήνη μπορεί να καλύψει πλήρως τον ηλιακό δίσκο.
Εφαρμογές
- Αστρονομία & Οπτική: λαμπρότητα/φωτεινότητα πηγών, πεδία θέασης (FOV).
- Φυσική: ροή ακτινοβολίας, διαγράμματα κατευθυντικότητας κεραιών.
- Γεωμετρία: ολοκληρώματα επιφανειών και προβολές.
Σημ.: 1 sr αντιστοιχεί στη στερεά γωνία που υποτείνει επιφάνεια ίση με \(r^2\) σε απόσταση \(r\) από το σημείο παρατήρησης.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου