Παραγώγιση — Ο Κανόνας του Γινομένου

Ο κανόνας του γινομένου είναι ένα βασικό εργαλείο στον διαφορικό λογισμό που μας επιτρέπει να παραγάγουμε το γινόμενο δύο ή περισσότερων συναρτήσεων.

Ο Κανόνας

Για δύο συναρτήσεις $u(x)$ και $v(x)$:

$$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)+u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Ο τύπος μπορεί να επεκταθεί εύκολα για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

Γεωμετρική Ερμηνεία

Μια κατανοητή προσέγγιση είναι μέσω γεωμετρίας.

Φανταστείτε ένα παραλληλεπίπεδο με πλευρές $u(x)$, $v(x)$, $w(x)$. Ο όγκος του είναι:

$$V(x)=u(x)\cdot v(x)\cdot w(x)$$

Όταν οι πλευρές μεταβάλλονται ελάχιστα, η μεταβολή του όγκου προκύπτει από τρεις συνεισφορές:

1. Τη μεταβολή στο $u(x)$
   

2. Τη μεταβολή στο $v(x)$
   

3. Τη μεταβολή στο $w(x)$
   

Έτσι:

$$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)w(x)]=u^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)w(x)+u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)w(x)+u(x)v(x)w^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Αυτό δίνει μια σαφή εικόνα γιατί η παράγωγος του γινομένου δεν είναι απλά το γινόμενο των παραγώγων.

Παράδειγμα

Έστω $f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$. Τότε:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x)\sin (x)+(x^2)(\cos (x))$$