Σύγκριση Κόκκινων και Πράσινων Περιοχών σε Κύκλο

Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζονται κόκκινες και πράσινες περιοχές μέσα σε έναν κύκλο. Ποια χρώματα υπερισχύουν; Είναι οι κόκκινες μεγαλύτερες από τις πράσινες ή το αντίστροφο;

Απάντηση

Αρκεί να εξετάσουμε ένα τεταρτημόριο του κύκλου. Το εμβαδόν του τομέα $AOB$ (με ακτίνα $R$ και γωνία $\alpha$) είναι ίσο με το εμβαδόν του ημικυκλίου με κέντρο $M$ (ακτίνα $\dfrac{R}{2}$ και γωνία $4\alpha$).

Αφαιρώντας το κοινό μπλε τρίγωνο από τα δύο αυτά ίσα εμβαδά, παίρνουμε:

$$R+R=R+V\Rightarrow R=V$$

Δηλαδή, το εμβαδόν των κόκκινων περιοχών είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν των πράσινων περιοχών.