Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών λέει ότι αν εκτελούμε πολλά ανεξάρτητα πειράματα ή παρατηρήσεις με την ίδια κατανομή, τότε ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων θα πλησιάσει την πραγματική αναμενόμενη τιμή της κατανομής καθώς ο αριθμός των πειραμάτων → ∞.

Εκδοχές

Υπάρχουν δύο βασικές μορφές:

• Αδύναμος Νόμος των Μεγάλων Αριθμών: για κάθε $\varepsilon > 0$,

  $$\mathrm{Pr}(\mid \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu \mid >\epsilon )\to 0\acute{\text{ο}}\text{ταν }n\to \mathrm{\infty },$$

  όπου τα $X_i$ είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με

  αναμενόμενη τιμή $\mu$.

• Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών: η σύγκλιση συμβαίνει σχεδόν σίγουρα, δηλαδή

  $$\mathrm{Pr}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\mu )=1.$$

Γιατί είναι σημαντικός

• Διασφαλίζει ότι οι μέσοι όροι των πειραμάτων ή των δειγμάτων έχουν νόημα ως εκτιμήσεις της αναμενόμενης τιμής.

• Είναι θεμέλιο στη στατιστική: επιτρέπει τη χρήση δειγματοληψίας για εκτιμήσεις πληθυσμού.

• Πολύ χρήσιμος σε εφαρμογές όπως δημοσκοπήσεις, ποιότητα παραγωγής, ανάλυση δεδομένων.

Παράδειγμα

Αν ρίξουμε ένα τέλειο νόμισμα n φορές, ο αναμενόμενος μέσος αριθμός «κορώνων» είναι 0.5. Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών λέει ότι καθώς κάνουμε όλο και περισσότερες ρίψεις, το ποσοστό των κορώνων θα πλησιάζει όλο και πιο πολύ το 50%.