EisatoponAI: Το Παράδοξο του Γαλιλαίου: Όταν τα Άπειρα Δεν Συμπεριφέρονται Όπως Νομίζουμε

Το παράδοξο του Γαλιλαίου είναι ένα από τα πρώτα μαθηματικά παραδείγματα που δείχνουν πώς το άπειρο δεν υπακούει πάντα στη διαίσθησή μας. Ο Γαλιλαίος παρατήρησε ότι, αν συγκρίνουμε τους φυσικούς αριθμούς με τους τετράγωνους αριθμούς, η λογική και η κοινή αίσθηση φαίνεται να συγκρούονται.

Η Διατύπωση

Ο Γαλιλαίος εξέτασε τα δύο σύνολα:

Το σύνολο των φυσικών αριθμών:

$N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots}$

Το σύνολο των τετραγώνων αριθμών:

$S = {1, 4, 9, 16, 25, \dots}$

Είναι προφανές ότι:

Το $S$ είναι υποσύνολο του $\mathbb{N}$ .
Οι περισσότεροι φυσικοί αριθμοί δεν είναι τέλεια τετράγωνα.
Καθώς οι αριθμοί μεγαλώνουν, τα κενά ανάμεσα στα τετράγωνα γίνονται ολοένα και μεγαλύτερα.

Άρα, διαίσθηση:

«Υπάρχουν περισσότερα φυσικοί αριθμοί από τετράγωνους αριθμούς».

Το Παράδοξο

Ο Γαλιλαίος αντιπαρέβαλε αυτή τη διαίσθηση με το εξής επιχείρημα:

Για κάθε φυσικό αριθμό $n$ υπάρχει ακριβώς ένας τετράγωνος αριθμός $n^2$ . Δηλαδή:

$1 \leftrightarrow 1, 2 \leftrightarrow 4, 3 \leftrightarrow 9, 4 \leftrightarrow 16, \dots$

Αυτή η αντιστοίχιση είναι ένα προς ένα (bijection).
Άρα, το πλήθος των τετραγώνων και των φυσικών αριθμών είναι ίσο.

Η Μαθηματική Σημασία

Το παράδοξο του Γαλιλαίου φανέρωσε ότι η έννοια του «πλήθους» στα άπειρα σύνολα δεν μπορεί να βασιστεί στη συνηθισμένη μας διαίσθηση.

Αργότερα, ο Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) έθεσε τις βάσεις της θεωρίας πληθικοτήτων και έδειξε ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων όταν υπάρχει μεταξύ τους μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία. Έτσι:

$∣ N ∣ = ∣ S ∣$

Δηλαδή, το άπειρο των φυσικών αριθμών έχει το ίδιο «μέγεθος» με το άπειρο των τετραγώνων.

Συμπέρασμα

Το Παράδοξο του Γαλιλαίου δείχνει ότι, όταν μιλάμε για άπειρα σύνολα, πρέπει να εγκαταλείψουμε την καθημερινή μας λογική. Μπορεί ένα άπειρο υποσύνολο να έχει το ίδιο «μέγεθος» με το αρχικό σύνολο — κάτι που φαντάζει αδύνατο, αλλά είναι απολύτως σωστό στα μαθηματικά.