🎁 Το Άπειρο Δώρο: Άπειρη Επιφάνεια – Πεπερασμένος Όγκος!

Φανταστείτε έναν «πύργο» από κύβους, όπου η πλευρά του n-οστού κύβου είναι $\dfrac{1}{\sqrt{n}}.$ Κάθε κύβος έχει επιφάνεια $$6\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}^2=\frac{6}{n},$$

οπότε το άθροισμα

$$6(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots )$$

αποτελεί την αρμονική σειρά, η οποία αποκλίνει. Άρα η συνολική επιφάνεια είναι άπειρη.

• Ο όγκος κάθε κύβου είναι

$${\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}^3=\frac{1}{n^{3\mathrm{/}2}},$$

και έτσι

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{3\mathrm{/}2}}=\zeta \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{3}{2}\right)\approx 2.61,$$

δηλαδή ο συνολικός όγκος είναι πεπερασμένος!

• Το ύψος δίνεται από

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}},$$

που συγκλίνει στο άπειρο. Άρα το «δώρο» έχει άπειρο ύψος.

Έτσι, το Άπειρο Δώρο 🎁 συνδυάζει τρία φαινομενικά αντιφατικά χαρακτηριστικά:

• Άπειρη επιφάνεια

• Άπειρο ύψος

• Πεπερασμένο όγκο

Ένα ακόμη παράδειγμα που δείχνει την απροσδόκητη και γοητευτική φύση των απείρων στα μαθηματικά!