Πόσο μακριά βλέπουμε από έναν πύργο;

Από την κορυφή ενός πύργου ή ενός βουνού, το βλέμμα μας φτάνει πολύ πιο μακριά από ό,τι όταν στεκόμαστε στο επίπεδο της θάλασσας. Έχεις αναρωτηθεί ποτέ πόσο μακριά μπορούμε να δούμε;

Η απάντηση βρίσκεται στη γεωμετρία και συνδέεται άμεσα με την καμπυλότητα της Γης.

---

Η Γεωμετρική Ιδέα

Ας θεωρήσουμε έναν παρατηρητή που βρίσκεται σε ύψος $h$ μέτρων πάνω από την επιφάνεια της Γης.
Η Γη προσεγγίζεται ως σφαίρα με ακτίνα:

$$R\approx 6400\text{km}\mathrm{.}$$

Η μέγιστη απόσταση $d$ που μπορεί να δει ο παρατηρητής μέχρι τον ορίζοντα δίνεται από το Θεώρημα του Πυθαγόρα στο τρίγωνο που σχηματίζεται από:

• το κέντρο της Γης,

• τον παρατηρητή,

• και το σημείο του ορίζοντα.

Η σχέση είναι:

$$d=\sqrt{(R+h{)}^2-R^2},$$

όπου:

• $d$ = απόσταση ως τον ορίζοντα,

• $R$ = ακτίνα Γης,

• $h$ = ύψος παρατηρητή.

---

Προσέγγιση για Μικρά Ύψη

Επειδή για $h \ll R$, έχουμε $h^2$ πολύ μικρό μπροστά στο $2Rh$, η εξίσωση απλοποιείται:

$$d\approx \sqrt{2Rh}\mathrm{.}$$

Αν βάλουμε $R = 6\,400\,000\,\text{m}$:

$$d\approx \sqrt{2\cdot 6400000\cdot h}\approx 3570\cdot \sqrt{h}\text{ μέτρα}\mathrm{.}$$

Άρα, πρακτικός κανόνας:

$$\boxed{{\displaystyle d(\text{σε km})\approx 3.57\cdot \sqrt{h(\sigma \epsilon \; \mu έ\tau \rho \alpha )\mathrm{/}1000}}}$$

---

Παράδειγμα

Αν βρισκόμαστε σε έναν πύργο ύψους $h = 60$ μέτρων, τότε:

$d≈2⋅6 400 000⋅60≈27 700 m≈27,7$ km

Δηλαδή, από ύψος μόλις 60 μέτρων, μπορούμε να δούμε σχεδόν 28 χιλιόμετρα μακριά!

---

Συμπέρασμα

Η απόσταση που βλέπουμε δεν εξαρτάται μόνο από την οπτική μας ικανότητα αλλά και από τη γεωμετρία της Γης.

Όσο πιο ψηλά βρισκόμαστε, τόσο μεγαλύτερος γίνεται ο ορίζοντας.

Έτσι, οι πύργοι, τα βουνά και οι ουρανοξύστες μάς χαρίζουν ένα ευρύτερο παράθυρο στον κόσμο! 🌍