Άπειρα σημεία τομής μιας ευθείας με το γράφημα συνάρτησης

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^2\sin x\).

1. Να αποδείξετε ότι το γράφημα της \(f\) βρίσκεται μεταξύ των παραβολών \(y=x^2\) και \(y=-x^2\).
2. Θεωρήστε τη δέσμη ευθειών που διέρχονται από την αρχή: \(y=mx,\; m\in\mathbb{R}^*\). Δείξτε ότι κάθε τέτοια ευθεία τέμνει το γράφημα της \(f\) σε άπειρα σημεία.
3. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία των \(y=\pm x^2\) σε σχέση με το γράφημα της \(f\);

Λύση

1) Φράγματα από τις παραβολές $y=\pm x^2$

Εφόσον $|\sin x|\le 1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$, έχουμε

$$|f(x)|=|x^2\sin x|\le x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; -x^2 \le x^2\sin x \le x^2.$$

Άρα το γράφημα της $f(x)=x^2\sin x$ βρίσκεται ανάμεσα στις παραβολές

$$y=x^2\text{και}y=-x^2\mathrm{.}$$

---

2) Κάθε ευθεία $y=mx$ ($m\in\mathbb{R}^*$) τέμνει τη $f$ σε άπειρα σημεία

Τομές με $y=mx$ προκύπτουν από

$$x^2\sin x = m x.$$

(i) Για $x=0$ έχουμε τομή στο $(0,0)$.
(ii) Για $x\neq 0$ ισοδυναμεί με

$$\sin x=\frac{m}{x}\mathrm{.}$$

Θα δείξουμε ότι η τελευταία έχει άπειρες λύσεις.

Πάρε $M:=|m|$ και διάλεξε $N>M$. Τότε για κάθε $|x|\ge N$ ισχύει

$$\left|\frac{m}{x}\right| \le \frac{M}{|x|} \le \frac{M}{N} < 1,$$

άρα $\frac{m}{x}\in(-1,1)$.

Στα διαστήματα μήκους $\pi$, π.χ. $[k\pi,(k+1)\pi]$ με $k$ αρκετά μεγάλο ώστε $k\pi \ge N$, η συνάρτηση $\sin x$ διατρέχει όλο το διάστημα $[-1,1]$ συνεχώς. Η συνεχής συνάρτηση

$$h(x)=\sin x - \frac{m}{x}$$

στο $[k\pi,(k+1)\pi]$ αλλάζει πρόσημο, γιατί $\sin x$ παίρνει τιμές $1$ και $-1$, ενώ $\frac{m}{x}$ είναι μικρό σε απόλυτη τιμή. Άρα, από το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα $x_k\in[k\pi,(k+1)\pi]$ με $h(x_k)=0$, δηλαδή $\sin x_k=\frac{m}{x_k}$.

Καθώς τα διαστήματα $[k\pi,(k+1)\pi]$ για $k=N',N'+1,\dots$ είναι άπειρα και ξένα ανά δύο, παίρνουμε άπειρες διαφορετικές λύσεις $x_k$ και, κατά συνέπεια, άπειρα σημεία τομής της $y=mx$ με το γράφημα της $f$. Το ίδιο επιχείρημα ισχύει και για αρνητικά $x$ (αρκετά μεγάλα σε απόλυτη τιμή).

Ειδική περίπτωση $m=0$: Η ευθεία $y=0$ τέμνει τη $f$στα σημεία όπου $x^2\sin x=0$, δηλαδή στα $x=n\pi$ για κάθε $n\in\mathbb{Z}$. Κι εδώ οι τομές είναι άπειρες.

---

3) Γεωμετρική ερμηνεία της $y=x^2$ (και $y=-x^2$)

Οι καμπύλες $y=\pm x^2$ αποτελούν σημειακά φράγματα του γραφήματος της $f$: για κάθε $x$,

$$-x^2\le f(x)\le x^2\mathrm{.}$$

Έτσι λειτουργούν ως “συνοριακές γραμμές” ή envelopes κατά φράγμα, που αγκαλιάζουν τις ταλαντώσεις της $x^2\sin x$ οι οποίες αποσβένονται καθώς $|x|\to\infty$ (αφού $|\sin x|\le 1$ αλλά ο συντελεστής $x^2$ καθορίζει το μέγιστο εύρος).