Γεωμετρία: Συστήματα Συντεταγμένων για Καμπύλες Επιπέδου 📐

Η γεωμετρία των καμπυλών επιπέδου στηρίζεται σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων, τα οποία επιτρέπουν να περιγράψουμε με ακρίβεια τη θέση κάθε σημείου στο επίπεδο. Τα πιο χρήσιμα είναι:

---

1. Rectangular (Cartesian) Coordinate System 🟦

Το πιο διαδεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

• Χρησιμοποιεί δύο κάθετους άξονες, τον x-άξονα (οριζόντιο) και τον y-άξονα (κάθετο).

• Η τομή τους είναι το κέντρο $(0,0)$.

• Κάθε σημείο στο επίπεδο περιγράφεται από ένα ζεύγος αριθμών $\{x, y\}$.

Παράδειγμα:

• Η εξίσωση $x^2 + y^2 = r^2$ περιγράφει κύκλο με ακτίνα $r$ στο κέντρο.

---

2. Polar Coordinate System 🌀

Ιδανικό για καμπύλες με συμμετρία γύρω από ένα κέντρο.

• Ένα σημείο περιγράφεται από το ζεύγος $\{r, θ\}$.

• Το $r$ είναι η απόσταση από τον πόλο (Pole) και το $θ$ η γωνία ως προς τον οριζόντιο άξονα.

• Ένα σημείο μπορεί να έχει πολλαπλές αναπαραστάσεις: π.χ. $\{r,θ\}$ και $\{r, θ+2\pi\}$ δείχνουν το ίδιο σημείο.

Παραδείγματα:

• $r = 3$ → κύκλος ακτίνας 3.

• $r = θ$ → σπείρα του Αρχιμήδη.

---

3. Bipolar Coordinate System 🔗

Χρησιμοποιείται όταν η καμπύλη σχετίζεται με δύο εστίες (foci).

• Δύο σταθερά σημεία $F_1$ και $F_2$ ορίζουν το σύστημα.

• Ένα σημείο $P$ περιγράφεται από τις αποστάσεις του $\{r_1, r_2\}$ από τις εστίες.

Εφαρμογές:

• Περιγραφή ελλείψεων, υπερβολών και οβάλ Cassini.

---

4. Αναπαράσταση Καμπυλών

(α) Μέσω Εξισώσεων

Η καμπύλη ορίζεται από εξίσωση δύο μεταβλητών $f(x,y)=0$.

• Παράδειγμα: $y = x^2$ → παραβολή.

(β) Μέσω Παραμετρικών Εξισώσεων

Χρησιμοποιούμε έναν παράμετρο $t$ και δύο συναρτήσεις:

$$x=f(t),y=g(t)$$

• Παράδειγμα:

  • Κύκλος: $\{r\cos t, r\sin t\}$
    

  • Σπείρα του Αρχιμήδη: $\{t\cos t, t\sin t\}$
    

---

5. Μετατροπή Συντεταγμένων 🔄

Η μετατροπή μεταξύ ορθογώνιων και πολικών γίνεται με:

$$r^2=x^2+y^2,\theta =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$$

Αυτές οι σχέσεις μας επιτρέπουν να περνάμε από μία μορφή εξίσωσης σε άλλη.

---

Χρησιμότητα 🌟

Η κατανόηση των διαφορετικών συστημάτων συντεταγμένων είναι κρίσιμη:

• Στην ανάλυση καμπυλών

• Στη φυσική και τη μηχανική

• Στον σχεδιασμό και τη ρομποτική

• Στην οπτική και την αρχιτεκτονική