Το πρόβλημα των οκτώ σημείων

Έστω ότι ένας κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από τρίγωνο $ABC$. Μέσα στο επίπεδο του τριγώνου, παίρνουμε ένα σημείο $P$ εκτός του κύκλου και φέρνουμε τις ευθείες $AP$, $BP$ και $CP$, οι οποίες τέμνουν ξανά τον κύκλο στα σημεία $A'$, $B'$, και $C'$.

Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν το πολύ οκτώ σημεία $P$ τέτοια ώστε τα σημεία $A'$, $B'$, $C'$ να μην συμπίπτουν με τις κορυφές $A$, $B$, $C$ και να είναι κορυφές τριγώνου ίσου με το $ABC$.

(Η λύση χρησιμοποιεί μια έξυπνη γεωμετρική τεχνική με περιστροφή και κίνηση σχημάτων πάνω στο επίπεδο.)