Το Θεώρημα του Rolle και η Απόδειξή του

 Έστω συνάρτηση f:[a,b]→R$\to \mathbb{R}$ συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b). Αν ισχύει f(a)=f(b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ξ∈(a,b) τέτοιο ώστε

$$f^{\mathrm{\prime }}(\xi )=0.$$

Απόδειξη:

1. Περίπτωση 1 – Η συνάρτηση είναι σταθερή.
   Αν η $f$ είναι σταθερή στο $[a,b]$, δηλαδή όλες οι τιμές της ίσες με $f(a)=f(b)$, τότε η παράγωγος είναι $f'(x)=0$ για κάθε $x \in (a,b)$. Το θεώρημα ισχύει αμέσως.

2. Περίπτωση 2 – Η συνάρτηση δεν είναι σταθερή.
   Τότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του $[a,b]$ όπου η $f$ παίρνει τιμή μεγαλύτερη ή μικρότερη από το $f(a)=f(b)$.

   • Αν υπάρχει τιμή μεγαλύτερη, το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής εγγυάται ότι η $f$ αποκτά μέγιστο στο $[a,b]$, σε σημείο $\xi$. Επειδή $f(\xi) > f(a)=f(b)$, το $\xi$ δεν μπορεί να είναι στα άκρα, άρα $\xi \in (a,b)$. Από το θεώρημα του Fermat, $f'(\xi) = 0$.

   • Αν υπάρχει τιμή μικρότερη, τότε η $f$ αποκτά ελάχιστο σε κάποιο $\xi \in (a,b)$. Επειδή $f(\xi) < f(a)=f(b)$, το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο και πάλι από το θεώρημα του Fermat, $f'(\xi) = 0$.

3. Συμπέρασμα.
   Σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο $\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi) = 0$.

Άρα αποδείχθηκε το Θεώρημα του Rolle. ✅