Χρησιμοποιούμε άραγε το «λάθος» αριθμητικό σύστημα;
“Οι συνηθισμένοι αριθμοί μάς είναι πολύ οικείοι, αλλά στην ουσία έχουν μια εξαιρετικά περίπλοκη δομή. Οι Surreals είναι σε κάθε λογική, μαθηματική και αισθητική έννοια καλύτεροι.”— Martin Kruskal
Σκεφτείτε για λίγο ότι ξεχνάτε ό,τι ξέρετε για τους αριθμούς. Αν ξεκινούσαμε από το μηδέν, με ελάχιστους και απλούς κανόνες, θα μπορούσαμε να οικοδομήσουμε ένα σύστημα αριθμών πολύ πιο φυσικό και ταυτόχρονα απείρως πλουσιότερο από αυτό που χρησιμοποιούμε σήμερα.
Αυτό το σύστημα είναι οι surreal numbers — ένα μαθηματικό σύμπαν που περιέχει:
-
όλους τους πραγματικούς αριθμούς,
-
όλους τους άπειρους αριθμούς που μπορείτε να φανταστείτε,
-
καθώς και όλα τα απειροστά, μικρότερα από οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό.
Κι όμως, παρά την απεραντοσύνη τους, οι surreal numbers παραμένουν αυστηρά δομημένοι, με απόλυτη λογική τάξη. Δεν πρόκειται για επιστημονική φαντασία, αλλά για πραγματικά μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τον John Conway στη δεκαετία του 1970.
Τι είναι οι Surreal Numbers;
Οι surreal numbers κατασκευάζονται με έναν απλό αλλά βαθύ κανόνα: κάθε νέος αριθμός ορίζεται από ένα ζευγάρι συνόλων παλαιότερων αριθμών, ένα αριστερό και ένα δεξί. Η διαδικασία αυτή επεκτείνεται σε «ημέρες», και κάθε μέρα το σύμπαν των αριθμών μεγαλώνει.
Μέσα από αυτή τη διαδικασία, εμφανίζονται φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, πραγματικοί, αλλά και άπειροι και απειροστά.
Γιατί μας ενδιαφέρουν;
-
Δείχνουν ότι το «σύστημα αριθμών» που θεωρούμε δεδομένο είναι απλώς μια επιλογή, όχι η μόνη.
-
Παρέχουν μια γέφυρα ανάμεσα στην αριθμητική των άπειρων και στην ανάλυση των απειροστάτων.
-
Έχουν αισθητική γοητεία: από απλούς κανόνες γεννιέται ένα σύμπαν γεμάτο απίστευτο πλούτο.
Συμπέρασμα
Οι surreal numbers μάς προκαλούν να ξανασκεφτούμε τι σημαίνει «αριθμός». Μας δείχνουν ότι η δημιουργικότητα και η λογική στα μαθηματικά πάνε χέρι-χέρι, ανοίγοντας παράθυρα σε κόσμους που δεν είχαμε φανταστεί.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου