Tractrix: Η Καμπύλη της Σταθερής Εφαπτομένης 🚲📐

Η tractrix (ή equitangential curve ή tractory) είναι μία ιδιαίτερη καμπύλη με μοναδική γεωμετρική ιδιότητα:

Κάθε εφαπτόμενη στην καμπύλη τέμνει την ασύμπτωτή της σε τμήμα σταθερού μήκους.

---

Ορισμός

Η tractrix είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων μιας καμπύλης τέτοια ώστε:

• Από κάθε σημείο $P$ της καμπύλης, η ευθεία εφαπτομένη που φέρνουμε τέμνει την ασύμπτωτη της καμπύλης.

• Το τμήμα από το $P$ έως το σημείο τομής έχει σταθερό μήκος $a$.

---

Παράδειγμα με Ποδήλατο 🚲

Φανταστείτε ένα ποδήλατο:

• Μπροστινός τροχός: ξεκινά από το σημείο $(0,0)$.

• Πίσω τροχός: βρίσκεται στο $(0,1)$.

• Ο μπροστινός τροχός στρίβει ώστε να κινηθεί προς Ανατολάς.

Η τροχιά που θα διαγράψει ο πίσω τροχός είναι μια tractrix.

Αυτό συμβαίνει επειδή το πίσω μέρος ακολουθεί πάντα τη γραμμή που συνδέει τους δύο τροχούς, διατηρώντας σταθερή σχέση με την κατεύθυνση του μπροστινού τροχού.