Η Ανισότητα του Napier: Όταν οι Λογάριθμοι Συναντούν την Καμπύλη y=1/x

Η παρακάτω εικόνα δείχνει τη γνωστή ανισότητα του Napier που συνδέει τον φυσικό λογάριθμο με την καμπύλη $y = 1/x$. 

Η ανισότητα λέει ότι για $0 < a < b$:

$$\frac{1}{b}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{a}\mathrm{.}$$

Αυτή η σχέση εκφράζει ότι ο «μέσος ρυθμός μεταβολής» της συνάρτησης lnx στο διάστημα [a,b] βρίσκεται ανάμεσα στις τιμές της παραγώγου 1/x στα άκρα.

Πράγματι:

• Η παράγωγος του $\ln x$ είναι $\frac{1}{x}$.

• Με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει $\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε:

  $$\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi }\mathrm{.}$$

• Και επειδή $a < \xi < b$, προκύπτει:

  $$\frac{1}{b}<\frac{1}{\xi }<\frac{1}{a}\mathrm{.}$$

---

Γεωμετρική ερμηνεία (όπως στην εικόνα)

Το ολοκλήρωμα $\int_a^b \tfrac{1}{x}\, dx = \ln b - \ln a$ παριστάνει το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη $y=1/x$.
Η ανισότητα δείχνει ότι αυτό το εμβαδόν βρίσκεται ανάμεσα σε δύο ορθογώνια:

• με ύψος $1/a$ (πάνω),

• και με ύψος $1/b$ (κάτω).