Παράγωγος κλασματικής τάξης π του $x^π$

Να υπολογιστεί η κλασματική παράγωγος τάξης $\pi$ της συνάρτησης $x^\pi$, δηλαδή

$$\frac{d^{\pi }}{d{x}^{\pi }}\left(x^{\pi }\right)\mathrm{.}$$

Απάντηση

Με τον ορισμό Riemann–Liouville ισχύει:

$$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}\left(x^m\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }(m+1)}{\mathrm{\Gamma }(m-\alpha +1)}{x}^{m-\alpha }\mathrm{.}$$

Άρα για $m=\pi$ και $\alpha=\pi$:

$$\frac{d^{\pi}}{dx^{\pi}}\big(x^{\pi}\big) = \frac{\Gamma(\pi+1)}{\Gamma(1)} \, x^{0} = \Gamma(\pi+1).$$

✅ Τελικό αποτέλεσμα:

$$\frac{d^{\pi }}{d{x}^{\pi }}(x^{\pi })=\mathrm{\Gamma }(\pi +1)\mathrm{.}$$