Η Ευφυής Απόδειξη του Fourier ότι ο αριθμός e είναι Άρρητος

Ο αριθμός του Euler, το περίφημο e, εμφανίζεται σε αναρίθμητες πτυχές των μαθηματικών και της φυσικής. Από την ανάπτυξη πληθυσμών και τη ραδιενεργό διάσπαση, μέχρι την ανάλυση μιγαδικών αριθμών και την περίφημη ταυτότητα του Euler, το e αποτελεί θεμέλιο λίθο.

Ένα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του είναι ότι το e είναι ά irrάτιο· δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε την ευφυή απόδειξη του Joseph Fourier για την αρρητότητα του e, μία απόδειξη που βασίζεται σε απλή αλλά βαθιά ιδέα.

---

Γιατί το e είναι τόσο σημαντικό;

• Διαφορικές Εξισώσεις
  

  Το e προκύπτει ως η μοναδική μη τετριμμένη λύση της απλής διαφορικής εξίσωσης:

$$\frac{dy}{dx}=y$$

Η λύση είναι:

$$y(x)=e^x$$

• Ο Τύπος του Euler
  Η πιο εμβληματική εμφάνιση του e είναι στον τύπο του Euler:

$$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$$

Και για $\theta = \pi$, έχουμε την πασίγνωστη ταυτότητα:

$$e^{i\pi }+1=0$$

Αυτή συνδέει τα τρία σημαντικότερα μαθηματικά σύμβολα: $e$, $\pi$ και $i$.

---

Η Απόδειξη του Fourier

Ο Fourier χρησιμοποίησε την τεχνική της απαγωγής σε άτοπο (proof by contradiction).

1. Υποθέτουμε ότι το e είναι ρητός αριθμός:

$$e=\frac{a}{\mathrm{b}}$$

για κάποιους θετικούς ακεραίους $a, b$.

2. Εξετάζουμε το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor:

$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$$

3. Ο Fourier πολλαπλασιάζει και χειρίζεται τους όρους της σειράς με τρόπο ώστε να προκύπτει ένας ακέραιος αριθμός που είναι αυστηρά μεταξύ 0 και 1.

4. Κάτι τέτοιο όμως είναι αδύνατο. Συνεπώς, η αρχική υπόθεση ότι το e είναι ρητός οδηγεί σε αντίφαση.

Έτσι αποδεικνύεται ότι το e είναι άρρητος αριθμός.

---

Συμπέρασμα

Η απόδειξη του Fourier είναι ένα υπέροχο παράδειγμα του πώς οι άπειρες σειρές μπορούν να αποκαλύψουν βαθιές αλήθειες για τους αριθμούς. Ο αριθμός e, πέρα από τον κεντρικό ρόλο του στην ανάλυση και τη φυσική, μας δείχνει και την κομψότητα της μαθηματικής σκέψης.