Ακέραιο Μέρος Πραγματικού Αριθμού (⌊x⌋)

Το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού x, συμβολίζεται με ⌊x⌋ (floor) και είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος με τον x.

Ορισμός: Για κάθε πραγματικό x υπάρχει μοναδικός ακέραιος n ώστε n ≤ x < n+1. Τότε ⌊x⌋ = n.

Παραδείγματα

• ⌊3.7⌋ = 3,   ⌊5⌋ = 5
• ⌊−2.3⌋ = −3 (προσοχή: πάμε «προς τα κάτω»)
• ⌊0⌋ = 0,   ⌊0.999…⌋ = 0

---

Βασικές ιδιότητες

• Φράγμα: ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1
• Μονότονη: αν x ≤ y τότε ⌊x⌋ ≤ ⌊y⌋
• Με ακέραια μετατόπιση: ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n, για κάθε n ∈ ℤ
• Άθροισμα: ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1
• Γινόμενο με θετικό ακέραιο k: ⌊k·x⌋ ≥ k·⌊x⌋ (ισότητα όταν το κλασματικό μέρος δεν «περνά» τον επόμενο ακέραιο)

---

Σχέση με οροφή (ceiling) και κλασματικό μέρος

• Οροφή: ⌈x⌉ = ο μικρότερος ακέραιος ≥ x
• Θεμελιώδης σχέση: ⌈x⌉ = −⌊−x⌋
• Κλασματικό μέρος: {x} = x − ⌊x⌋ με {x} ∈ [0, 1)
• Διάσπαση: x = ⌊x⌋ + {x} και {x} = 0 ⇔ x ∈ ℤ

Παράδειγμα: Για x = −2.3 ισχύουν: ⌊x⌋ = −3,   ⌈x⌉ = −2,   {x} = 0.7.

---

Διαφορά από τη στρογγυλοποίηση (round)

• Floor (⌊x⌋): πάντα «προς τα κάτω».
• Round: στον πλησιέστερο ακέραιο (π.χ. round(2.6) = 3, αλλά ⌊2.6⌋ = 2).
• Στα αρνητικά: ⌊−1.2⌋ = −2, ενώ round(−1.2) = −1.

x	⌊x⌋	⌈x⌉	round(x)
2.6	2	3	3
−1.2	−2	−1	−1
3.0	3	3	3

---

Μικρά «κολπάκια»

• Για ρητό p/q με q > 0: βρες ακέραιο k με k ≤ p/q < k+1 ⇒ ⌊p/q⌋ = k (π.χ. ⌊17/5⌋ = ⌊3.4⌋ = 3)
• Σπάσιμο αθροίσματος: ⌊x + y⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + ⌊{x} + {y}⌋, όπου ⌊{x} + {y}⌋ είναι 0 ή 1

Συχνά λάθη

• Να θεωρούμε ότι ⌊−2.3⌋ = −2 (λάθος· είναι −3)
• Σύγχυση του ⌊x⌋ με το round(x)
• Παράβλεψη ότι το κλασματικό μέρος είναι πάντα στο [0, 1)

---

Mini ασκήσεις

1. Υπολόγισε: ⌊4.2⌋, ⌊−4.2⌋, ⌈−4.2⌉, {−4.2}
2. Απόδειξε ότι:
   ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ = 0, αν x ∈ ℤ · −1, αν x ∉ ℤ
3. Βρες όλα τα x ∈ ℝ με ⌊x⌋ = 7 (γράψε το διάστημα)

Υποδείξεις/Απαντήσεις (πάτησε για εμφάνιση)

1. ⌊4.2⌋ = 4, ⌊−4.2⌋ = −5, ⌈−4.2⌉ = −4, {−4.2} = 0.8
2. Χρησιμοποίησε τη διάσπαση x = ⌊x⌋ + {x} και ότι {x} ∈ [0,1).
3. Η ισότητα ⌊x⌋ = 7 ισοδυναμεί με 7 ≤ x < 8 ⇒ διάστημα [7, 8).

---

Σύνοψη: Το ακέραιο μέρος ⌊x⌋ «κόβει» προς τα κάτω, σχετίζεται με την οροφή (⌈x⌉ = −⌊−x⌋) και ορίζει το κλασματικό μέρος {x} = x − ⌊x⌋ ∈ [0,1). Είναι εργαλείο-κλειδί σε αριθμητική, ανισότητες και αποδείξεις.