Υπολογισμός Εμβαδού: Περιοχή Μεταξύ Καμπύλης και Άξονα Y

Όταν θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν μιας περιοχής ανάμεσα σε μια καμπύλη και τον άξονα y, χρησιμοποιούμε ολοκλήρωση ως προς το y.

Γενικός τύπος:

$$A={\int }_c^{d}f(y)dy$$

• $f(y)$ → η εξίσωση της καμπύλης (λυμένη ως προς $x$),

• $c$ και $d$ → τα όρια ολοκλήρωσης στον άξονα $y$.

---

Παράδειγμα:

Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από την καμπύλη:

$$x=y^2$$

τον άξονα $y$ και τις ευθείες $y = 0$ και $y = 2$.

Λύση:

Εδώ έχουμε:

$$f(y)=y^2$$

και τα όρια ολοκλήρωσης είναι $c = 0$, $d = 2$.

Άρα:

$$A={\int }_0^2{y}^{2}dy$$$$A = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^2$$$$A=\frac{2^3}{3}-0=\frac{8}{\mathrm{3}}$$

Τελικό Εμβαδόν:

$$A=\frac{8}{3}{\text{μονάδες}}^2$$

---

Συμβουλή:

Αντί να δουλεύουμε με κάθετες λωρίδες, όπως στις περισσότερες ασκήσεις, εδώ δουλεύουμε με οριζόντιες λωρίδες επειδή η ολοκλήρωση γίνεται ως προς το y.