ΕΚΠ 1–20: Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι 232.792.560

Το μικρότερο θετικό ακέραιο που διαιρείται από όλους τους αριθμούς 1–20 είναι 232.792.560. Πρόκειται για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των πρώτων 20 φυσικών.

Πώς το βρίσκουμε

Παίρνουμε για κάθε πρώτον αριθμό την μεγαλύτερη δύναμη του που δεν υπερβαίνει το 20 και τις πολλαπλασιάζουμε όλες μεταξύ τους.

Οι πρώτοι μέχρι το 20 είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

• $2^4 = 16$ (το $2^5=32>20$)

• $3^2 = 9$ (το $3^3=27>20$)

• $5^1, 7^1, 11^1, 13^1, 17^1, 19^1$
  

Άρα

$$\text{ΕΚΠ}(1,\dots,20)=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19 = 232{,}792{,}560.$$

Γιατί δουλεύει

Κάθε αριθμός από το 1 έως το 20 παραγοντοποιείται σε γινόμενο πρώτων. Επιλέγοντας τη μέγιστη δύναμη κάθε πρώτου που χρειάζεται (π.χ. $2^4$ για να καλύψει 16, 8, 4, 2 και $3^2$ για 9, 18, 12 κ.λπ.), εξασφαλίζουμε ότι όλοι οι αριθμοί διαιρούν το γινόμενο.
Οποιοσδήποτε μικρότερος αριθμός θα «λείπει» κάποια αναγκαία δύναμη και δεν θα είναι κοινό πολλαπλάσιο.