Το 1703, ο Γκουίντο Γκράντι (Luigi Guido Grandi), ένας Ιταλός μαθηματικός και Ιησουίτης μοναχός, τάραξε τα νερά των μαθηματικών με ένα φαινομενικά απλό — αλλά απίστευτα παράξενο — άθροισμα.
Άπλωσε το χέρι σου και άγγιξε κάτι μπροστά σου. Το έκανες; Ωραία. Μόλις απέδειξες — χωρίς χαρτί και μολύβι — ότι μια άπειρη ακολουθία μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα. Το χέρι σου δεν πήγε κατευθείαν στο αντικείμενο· διένυσε πρώτα τη μισή απόσταση, μετά το μισό του μισού, μετά το μισό αυτού... και συνέχισε έτσι επ’ άπειρον. Κι όμως, έφτασε στον στόχο. Με άλλα λόγια:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1
Η άπειρη πρόσθεση οδήγησε σε ένα πεπερασμένο αποτέλεσμα. Μαθηματικά, αυτό είναι απόλυτα επιτρεπτό. Όμως όχι πάντα…
Η πρόκληση του Γκράντι
Ο Γκράντι σκέφτηκε κάτι ακόμη πιο παράξενο:
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
Αν το υπολογίσουμε διαδοχικά: 1 − 1 = 0, +1 = 1, −1 = 0, +1 = 1… Το άθροισμα πηγαίνει μπρος-πίσω ανάμεσα στο 0 και το 1. Δεν σταθεροποιείται ποτέ.
Αλλά αν ομαδοποιήσουμε τους όρους αλλιώς; (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. Αν όμως ξεκινήσουμε διαφορετικά: 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + … = 1.
Δύο σωστά επιχειρήματα, δύο διαφορετικά αποτελέσματα. Και, για όσους συνέχισαν να παίζουν με την άλγεβρα, προέκυψε και ένα τρίτο: το άθροισμα θα μπορούσε να θεωρηθεί ίσο με 1/2.
Από το μηδέν στο θαύμα
Ο Γκράντι, όντας θεολόγος, ερμήνευσε το αποτέλεσμα θεολογικά: εφόσον η σειρά φαίνεται να δίνει ταυτόχρονα τίποτα και κάτι, ίσως αυτό να δείχνει ότι ο Θεός μπορεί να δημιουργήσει κάτι από το μηδέν.
Οι μαθηματικοί της εποχής του δεν εντυπωσιάστηκαν, όμως το παράδοξο του Γκράντι άνοιξε μια τεράστια συζήτηση για το πώς πρέπει να αντιμετωπίζουμε τα άπειρα αθροίσματα. Και πράγματι, από τότε οι μαθηματικοί αναγκάστηκαν να επαναπροσδιορίσουν τι σημαίνει “άθροισμα” όταν οι όροι είναι άπειροι.
Όταν το άπειρο δεν υπακούει στους κανόνες
Η σειρά του Γκράντι δεν είναι η μόνη που μας προκαλεί. Η πιο γνωστή είναι:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …
Προφανώς, όσο περισσότερο προσθέτουμε, τόσο μεγαλώνει το αποτέλεσμα — τείνει στο άπειρο. Κι όμως, μέσω προχωρημένων μεθόδων (όπως η αναλυτική συνέχεια), οι μαθηματικοί μπορούν να αποδώσουν ένα “αριθμητικό” νόημα στο άπειρο αυτό άθροισμα — και το αποτέλεσμα είναι απίστευτο: −1/12.
Αυτό δεν είναι λάθος· είναι απλώς μια διαφορετική έννοια του αθροίσματος — μια που ανήκει στον κόσμο της θεωρίας των απείρων, εκεί όπου οι νόμοι της κοινής αριθμητικής παύουν να ισχύουν.
Από τον Γκράντι στο άπειρο
Η ιστορία του Γκράντι μάς θυμίζει κάτι βαθύτερο: ότι η ανθρώπινη διαίσθηση είναι περιορισμένη, και το άπειρο — είτε μαθηματικό είτε φιλοσοφικό — μας καλεί πάντα να κοιτάξουμε πέρα από τα όρια της λογικής.
Ίσως, όπως πίστευε και ο ίδιος, εκεί όπου η αριθμητική συναντά το παράδοξο, να αγγίζουμε για μια στιγμή το μυστήριο της δημιουργίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου