Η Διονυσία γράφει διαδοχικούς θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από το 1. Κάθε φορά που γράφει έναν αριθμό που είναι πολλαπλάσιο του 9 ή περιέχει το ψηφίο 9, ο αδελφός της Θεόφιλος τον σβήνει αμέσως.
Αν συνεχίσουν έτσι, ποιος είναι ο 400ός αριθμός που θα σβήσει ο Θεόφιλος;
Υπόδειξη: Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
1 σχόλιο:
1. Από 1 έως 9
ΑπάντησηΔιαγραφήΜόνο το 9 διαγράφεται. → 1 διαγραμμένος.
(Σωρευτικά: 1)
2. Από 10 έως 99
Αν μετρήσουμε όλους τους αριθμούς 10–99 που είτε περιέχουν 9 είτε είναι πολλαπλάσιο του 9, παίρνουμε 26 διαγραμμένους.
Σωρευτικά (1–99): 1+26=27
3. Από 100 έως 999
Το σύνολο των 3-ψήφιων αριθμών που διαγράφονται (περιέχουν 9 ή είναι πολλαπλάσια του 9) είναι 324.
Σωρευτικά (1–999): 27+324=351
Άρα μέχρι το 999 έχουν ήδη διαγραφεί 351 αριθμοί. Χρειαζόμαστε ακόμα 400−351=49 διαγραμμένους.
Στο επόμενο εύρος 1000..., μετράμε τους διαγραμμένους σειριακά. Μετρώντας τους διαγραμμένους βρίσκουμε ότι ο 49ος διαγραμμένος μέσα στο διάστημα 1000… είναι ο αριθμός 1192.
Οι 49 διαγραμμένοι αριθμοί μετά το 999, με χρονολογική σειρά — δηλαδή οι επόμενοι 49 που σβήνει ο Θεόφιλος είναι οι κάτωθι:
1008, 1009, 1017, 1019, 1026, 1029, 1035, 1039, 1044, 1049, 1053, 1059, 1062, 1069, 1071, 1079, 1080, 1089, 1090, 1091, 1092, 1093, 1094, 1095, 1096, 1097, 1098, 1099, 1107, 1109, 1116, 1119, 1125, 1129, 1134, 1139, 1143, 1149, 1152, 1159, 1161, 1169, 1170, 1179, 1188, 1189, 1190, 1191, 1192.
Ο 49ος αυτών (δηλαδή ο 400ός συνολικά) είναι ο 1.192.