Πώς ο Αρχιμήδης υπολόγισε το \( \pi \)

Η ιδιοφυής μέθοδος με εγγεγραμμένα & περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα — βήμα-βήμα με σύγχρονη παρουσίαση.

1️⃣ Η ιδέα του Αρχιμήδη

Κύκλος ακτίνας 1 ⇒ περίμετρος \(2\pi\).

Αν «σφίξουμε» τον κύκλο με κανονικά πολύγωνα, η περίμετρος του εγγεγραμμένου είναι μικρότερη από \(2\pi\), ενώ του περιγεγραμμένου μεγαλύτερη.

\text{Κάτω όριο: } 2\pi \;>\; 2n\,\sin\!\big(\tfrac{\pi}{n}\big)\) \(\text{Άνω όριο: } 2\pi \;<\; 2n\,\tan\!\big(\tfrac{\pi}{n}\big)

Για n = 96 ⇒ γωνία \(1.875^\circ\) (ή \(\pi/96\) ραδ.).

2️⃣ Μόνο ένα εργαλείο!

Η μοναδική σχέση που θα χρησιμοποιήσουμε (τύπος ημιαγωνίου μέσω \(\sin 2\theta\)):

\boxed{\,\sin\theta \;=\; \sqrt{\dfrac{1 - \sqrt{\,1 - \sin^2 2\theta\,}}{2}}\,}

Ξεκινάμε από γνωστό:

\( \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

3️⃣ Διπλασιάζουμε τη γωνία 6 φορές

Γωνία	Υπολογισμός (σύντομα)
60° → 30°	\( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \)
30° → 15°	\( \sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{\,2-\sqrt{3}\,}}{2} \)
15° → 7.5°	\( \sin 7.5^\circ = \sqrt{\dfrac{\,2 - \sqrt{\,2+\sqrt{3}\,}\,}{4}} \)
… (συνεχίζουμε με την ίδια φόρμουλα)

Μετά από 6 βήματα, φτάνουμε στο:

\( \sin 1.875^\circ \approx \dfrac{103993}{3171680} \quad \big(\text{ακριβέστερα: } > \dfrac{103993}{3171680}\big) \)

4️⃣ Υπολογίζουμε τα όρια

🔹 Κάτω όριο:

96 \sin 1.875^\circ \;>\; 96 \cdot \dfrac{103993}{3171680} \;=\; \dfrac{124691}{39646} \;=\; 3 + \dfrac{10393}{39646} \;=\; 3 + \dfrac{10}{71} + \text{λίγο ακόμα}

\boxed{\,\pi \;>\; 3 + \dfrac{10}{71}\,}

🔸 Άνω όριο:

Χρησιμοποιούμε \( \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \), \( \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} \). Με προσεκτικές ανισότητες (à la Αρχιμήδη) προκύπτει:

\( \tan 1.875^\circ \;<\; \dfrac{6693}{204544} \)