Ένα Έξυπνο Κόλπο με Πολυώνυμα από το IQQM 2023: Πώς η Συμμετρία Απλοποιεί τα Πάντα

Η παρακάτω άσκηση προέρχεται από το Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2023. 

Δίνεται το πολυώνυμο:

$$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$$

όπου $a, b, c$ είναι ακέραιοι και το $c$ είναι περιττός αριθμός.
Αν $p_1 = P(i)$, με $i$ τη μονάδα του φανταστικού αριθμού, και γνωρίζουμε ότι:

$$p_1^3 + p_2^3 + p_3^3 = 3p_1p_2p_3,$$

ζητείται να βρεθεί η τιμή του $p_2 + 2p_1 - 3p_0$.

---

🧠 Το Κλειδί της Επίλυσης

Η ουσία της λύσης βασίζεται στην παρατήρηση συμμετρίας των ριζών.
Αν $p_1 + p_2 + p_3 ≠ 0$, η συνθήκη του προβλήματος οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι τρεις τιμές είναι ίσες:

$$p_1 = p_2 = p_3.$$

Αυτό το απλό αλλά κρίσιμο βήμα απλοποιεί δραματικά το σύστημα εξισώσεων που συνδέει τους συντελεστές $a, b, c$.