Andrew Wiles και το τελευταίο θεώρημα του Fermat: Μια απόδειξη που άλλαξε τα μαθηματικά

Στις 23 Ιουνίου 1993, ο Andrew Wiles ολοκλήρωσε μια σειρά διαλέξεων στο Ινστιτούτο Isaac Newton του Κέιμπριτζ με τη φράση:

«Νομίζω πως θα σταματήσω εδώ».

Το κοινό σηκώθηκε όρθιο — το χειροκρότημα ήταν εκκωφαντικό. Ο Wiles είχε μόλις παρουσιάσει μια απόδειξη που οι μαθηματικοί κυνηγούσαν για πάνω από 350 χρόνια: το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.

Το θεώρημα αυτό συνδέεται με μαθηματικά που χρονολογούνται πάνω από 2000 χρόνια πριν. Οι περισσότεροι γνωρίζουν το Θεώρημα του Πυθαγόρα:
αν τα $a$, $b$ και $c$ είναι οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, τότε ισχύει

$$a^2 + b^2 = c^2.$$

Υπάρχουν άπειρα Πυθαγόρεια τριπλά φυσικών αριθμών που ικανοποιούν αυτή τη σχέση, όπως τα (3,4,5), (5,12,13) και (6,8,10).

Ο Pierre de Fermat, μαθηματικός του 17ου αιώνα, αναρωτήθηκε αν υπάρχουν παρόμοιες τριάδες για υψηλότερους εκθέτες:

$$a^3 + b^3 = c^3,\quad a^4 + b^4 = c^4,\quad a^5 + b^5 = c^5.$$

Πιο γενικά: μπορούν να υπάρξουν φυσικοί αριθμοί $a, b, c$ που να ικανοποιούν τη σχέση

$$a^n + b^n = c^n$$

όταν $n > 2$;

Ο Fermat πίστευε πως όχι — και το σημείωσε στο περιθώριο του βιβλίου του το 1637, γράφοντας πως είχε μια «θαυμάσια απόδειξη» που όμως δεν χωρούσε στο περιθώριο. Αυτή η αινιγματική φράση στοίχειωσε γενιές μαθηματικών.

   

Αιώνες αργότερα, ο Wiles αφιέρωσε επτά χρόνια μυστικής εργασίας για να αποδείξει ένα ευρύτερο αποτέλεσμα, τη Συζυγία Taniyama–Shimura, από την οποία προέκυπτε ως συνέπεια το θεώρημα του Fermat. Την εποχή εκείνη, οι περισσότεροι θεωρούσαν το πρόβλημα απρόσιτο. Όμως, όσοι γνώριζαν τον Wiles, πίστευαν πως αν κάποιος μπορούσε να το αποδείξει, αυτός θα ήταν εκείνος.

Όταν ανέβηκε στο βήμα του Newton Institute, η ατμόσφαιρα ήταν ηλεκτρισμένη. Σύμφωνα με τον μαθηματικό Tom Körner, «όταν τελείωσε, το κοινό ξέσπασε σε καταιγισμό χειροκροτημάτων — και όσοι κατανοούσαν το υλικό επιβεβαίωσαν ότι το αποτέλεσμα έδειχνε σωστό».

Η απόδειξη, ωστόσο, περιείχε ένα σφάλμα που χρειάστηκε έναν ακόμη χρόνο για να διορθωθεί, με τη βοήθεια του πρώην μαθητή του, Richard Taylor. Τελικά, το 357 ετών πρόβλημα λύθηκε, ανοίγοντας νέους δρόμους στη θεωρία αριθμών.

Η σημασία του έργου του Wiles δεν έγκειται μόνο στο αποτέλεσμα, αλλά και στα μαθηματικά εργαλεία που αναπτύχθηκαν για να φτάσει σε αυτό. Όπως είπε ο Körner, «το έργο του Wiles είχε βαθύτερη επίδραση από πολλές άλλες αποδείξεις, γιατί δημιούργησε νέα μαθηματικά στη διαδικασία».