Αποδείξεις Κλασικών Ανισοτήτων – Bernoulli, Jensen και Hadamard

Σε αυτό το άρθρο παρουσιάζονται αποδείξεις τριών σημαντικών ανισοτήτων: Bernoulli, Jensen και Hadamard. Οι ανισότητες αυτές αποτελούν θεμέλια της ανάλυσης και της θεωρίας ανισοτήτων, και βρίσκουν εφαρμογή στη μαθηματική ανάλυση, τη στατιστική και τη γραμμική άλγεβρα.

---

1️⃣ Ανισότητα του Bernoulli

Για κάθε x > -1 και ακέραιο n ≥ 1 ισχύει:

\[ (1 + x)^n \ge 1 + nx \]

Απόδειξη

Χρησιμοποιούμε μαθηματική επαγωγή. Για n = 1 η ανισότητα είναι προφανής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για κάποιο n ≥ 1, δηλαδή \((1 + x)^n \ge 1 + nx\). Τότε:

\[ (1 + x)^{n+1} = (1 + x)^n (1 + x) \ge (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \]

Το τελευταίο είναι σίγουρα ≥ 1 + (n + 1)x για x > -1. Άρα η ανισότητα ισχύει για κάθε n ∈ ℕ.

---

2️⃣ Ανισότητα του Jensen

Αν 0 < p ≤ q και \(a_k > 0\), τότε ισχύει:

\[ \left( \frac{a_1^q + a_2^q + \dots + a_n^q}{n} \right)^{1/q} \le \left( \frac{a_1^p + a_2^p + \dots + a_n^p}{n} \right)^{1/p} \]

Απόδειξη

Θεωρούμε τη συνάρτηση: \[ f(p) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^p \right)^{1/p}. \] Αποδεικνύεται ότι το f(p) είναι φθίνουσα συνάρτηση για p > 0, συνεπώς αν \(0 < p_1 ≤ p_2\), τότε \(f(p_2) ≤ f(p_1)\), που είναι η ζητούμενη ανισότητα.

---

3️⃣ Ανισότητα του Hadamard

Αν \(A\) είναι πίνακας n×n με στοιχεία \(a_{ij}\) και ορίζουσα D, τότε:

\[ | \det(A) |^2 \le \prod_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2 \]

Απόδειξη (με χρήση Gramian)

Ορίζουμε το Gramian ενός συνόλου διανυσμάτων \(x_1, ..., x_n\) ως: \[ G(x_1, ..., x_n) = \det( [ \langle x_i, x_j \rangle ]_{i,j=1}^n ) \] Το G(x₁,…,xₙ) εκφράζει το τετράγωνο του όγκου του παραλληλεπιπέδου που ορίζουν τα διανύσματα. Για n διανύσματα στο ℝⁿ, έχουμε \(G(x_1, ..., x_n) = (\det A)^2\). Επομένως: \[ |\det(A)|^2 = G(x_1, ..., x_n) \le \prod_{i=1}^{n} \langle x_i, x_i \rangle = \prod_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2, \] όπως θέλαμε.