Το Lights Out είναι ένα κλασικό μαθηματικό παζλ: έχεις ένα τετράγωνο ή ορθογώνιο πλέγμα από φώτα — μερικά αναμμένα, μερικά σβηστά. Αν πατήσεις ένα φως, αλλάζει η κατάστασή του (on/off) και των τεσσάρων ορθογώνιων γειτόνων του. Ο στόχος: να σβήσεις όλα τα φώτα.
🔢 Οι βασικοί κανόνες
- Η σειρά πατημάτων δεν έχει σημασία — η επίδραση είναι ίδια ανεξάρτητα από τη σειρά.
- Κάθε φως χρειάζεται να πατηθεί το πολύ μία φορά.
- Πατώντας ένα φως δύο φορές είναι σαν να μην το πατάς καθόλου (1 + 1 ≡ 0 mod 2).
🧮 Η Μαθηματική Ανάλυση
Ας συμβολίσουμε την κατάσταση των φώτων με έναν πίνακα από 0 (σβηστά) και 1 (αναμμένα). Κάθε πάτημα είναι μια ενέργεια που προσθέτει (mod 2) ένα μοτίβο αλλαγών.
Οπότε το πρόβλημα ισοδυναμεί με το να βρούμε ένα διάνυσμα πατημάτων \(x\) που ικανοποιεί:
\( A \cdot x = b \ (\text{mod } 2) \)
όπου:
- \(A\): πίνακας που δείχνει ποιο φως επηρεάζει ποια.
- \(x\): ποια φώτα πατιούνται (0/1).
- \(b\): η αρχική κατάσταση των φώτων.
Το ζητούμενο είναι να βρούμε λύση στο σύστημα εξισώσεων mod 2. Αν υπάρχει λύση, τότε το παζλ μπορεί να λυθεί. Αν όχι, τότε ό,τι και να κάνουμε, θα μείνουν αναμμένα φώτα!
🎯 Πρακτική Μέθοδος – “Κατέβασμα Γραμμών” (Chasing Lights)
Για μικρά πλέγματα, υπάρχει ένας απλός αλγόριθμος:
- Διάλεξε ποια φώτα θα πατήσεις στην πρώτη γραμμή.
- Για κάθε κελί στην επόμενη γραμμή: αν το φως από πάνω είναι αναμμένο, πάτησέ το.
- Συνέχισε προς τα κάτω. Αν στην τελευταία γραμμή όλα σβήσουν, έχεις λύση!
Αυτός ο αλγόριθμος λειτουργεί γιατί κάθε πάτημα επηρεάζει μόνο το φως από πάνω του και δεν χρειάζεται να ξαναγυρίσεις πίσω. Το “chase” εξασφαλίζει ότι στο τέλος έχεις ελέγξει όλο το πλέγμα.
📚 Τι μαθαίνουμε από αυτό
- Η λογική mod 2 (0 ↔ off, 1 ↔ on) είναι πανίσχυρη.
- Η σειρά πράξεων δεν αλλάζει το αποτέλεσμα (προσεταιριστική ιδιότητα mod 2).
- Η γραμμική άλγεβρα μπορεί να λύνει λογικά παζλ με συστηματικό τρόπο.
✨ Πρόκληση για μαθητές
Δοκιμάστε ένα πλέγμα 3×3 ή 5×5. Σχεδιάστε το αρχικό μοτίβο και βρείτε τον ελάχιστο αριθμό πατημάτων για να σβήσουν όλα τα φώτα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου