Πώς με τρία δυάρια μπορείτε να δημιουργήσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς

Πρόβλημα

Να βρεθεί ένας τρόπος ώστε κάθε θετικός ακέραιος αριθμός να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μόνο τρία δυάρια (2) και μαθηματικά σύμβολα.

🔹 Η Ιδέα

Ας ξεκινήσουμε με τον αριθμό 3.
Η λύση είναι:

$$3 = -\log_2 \log_2 \sqrt{\sqrt{2}}.$$

Πράγματι, αν το αναλύσουμε βήμα προς βήμα έχουμε:

$$\sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4}, \quad \log_2(2^{-3}) = -3.$$

Έτσι, προκύπτει η σωστή ισότητα.

---

🔹 Και για τον αριθμό 5;

Χρησιμοποιούμε ακριβώς το ίδιο μοτίβο, απλώς αυξάνουμε τον αριθμό των ριζών:

$$5 = -\log_2 \log_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}.$$

🔹 Η Γενική Μορφή

Για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο $N$:

$$N = -\log_2 \log_2 \underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{2}}}}}_{N \text{ φορές}}.$$

Με άλλα λόγια, ο αριθμός των ριζών ισούται με το πλήθος των μονάδων του $N$.