EisatoponAI: Οι Ανταγωνιστές των Λογαρίθμων: Μια Ιστορική Μαθηματική Ιδέα

Πριν από την ανακάλυψη των λογαρίθμων, οι μαθηματικοί αναζητούσαν τρόπους να εκτελούν πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις πιο γρήγορα, χωρίς την επίπονη διαδικασία των πράξεων. Ένας από τους πιο ευρηματικούς τρόπους ήταν οι λεγόμενοι πίνακες των τετάρτων των τετραγώνων (tables of fourths of squares).

Η ιδέα βασιζόταν στην ταυτότητα:

$ab = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}.$

Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης, μπορούσε κανείς να υπολογίσει το γινόμενο δύο αριθμών χωρίς να κάνει πολλαπλασιασμό, αλλά με δύο τετραγωνισμούς, μία αφαίρεση και μία διαίρεση — πράξεις πολύ πιο εύκολες, ιδίως όταν οι τιμές των τετραγώνων ήταν ήδη διαθέσιμες σε πίνακες.

🔹 Παράδειγμα

Ας υπολογίσουμε:

$23 \times 17.$

Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

$ab = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}.$

Έχουμε:

$a + b = 40$
$a - b = 6$

Άρα:

$(40)^2 = 1600, \quad (6)^2 = 36$

και επομένως:

$ab = \frac{1600 - 36}{4} = \frac{1564}{4} = 391.$

Πράγματι, $23 \times 17 = 391.$

➡️ Αν υπήρχε έτοιμος πίνακας με τετράγωνα, θα αρκούσε να κοιτάξει κανείς τις δύο τιμές (του 40 και του 6), να κάνει την αφαίρεση και τη διαίρεση — χωρίς καμία διαδικασία πολλαπλασιασμού.

🔹 Ήταν όμως πιο εύκολο;

Για την εποχή εκείνη, ναι.
Σήμερα, ο πολλαπλασιασμός είναι απλός και γρήγορος, αλλά τον 16ο αιώνα οι υπολογισμοί γίνονταν με χαρτί, πένα και πίνακες. Οι πίνακες τετραγώνων μείωναν τα λάθη και εξοικονομούσαν πολύ χρόνο, ιδίως σε μηχανικούς και αστρονόμους.

Ωστόσο, υπήρχαν περιορισμοί:

Λειτουργούσαν μόνο για δύο αριθμούς κάθε φορά.
Δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν εύκολα με δεκαδικούς ή ρίζες.
Δεν επέτρεπαν τη γρήγορη επεξεργασία πολλαπλών παραγόντων.

🔹 Η Επανάσταση των Λογαρίθμων

Με την ανακάλυψη των λογαρίθμων από τον John Napier (1614) και την τελειοποίησή τους από τον Henry Briggs, τα πάντα άλλαξαν.
Οι λογαριθμικοί πίνακες επέτρεπαν να μετατραπούν οι πράξεις σε πολύ πιο απλές μορφές:

Πολλαπλασιασμός → Πρόσθεση
$\log (a b) = \log a + \log b$
Διαίρεση → Αφαίρεση
$\log ⁣ (\frac{a}{b}) = \log a - \log b$
Δυνάμεις και ρίζες → Πολλαπλασιασμός ή Διαίρεση των λογαρίθμων

Έτσι, οι λογαριθμικοί πίνακες μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για δεκαδικούς, ρίζες, δυνάμεις και πολλαπλούς παράγοντες — κάτι αδύνατο για τους παλαιότερους πίνακες τετραγώνων.

🔹 Ένα ιστορικό ντοκουμέντο

Παρότι οι λογαριθμικοί πίνακες κυριάρχησαν, οι πίνακες τετάρτων των τετραγώνων συνέχισαν να εκδίδονται.
Το 1856, στη Γαλλία, κυκλοφόρησε ένας πίνακας με τον τίτλο:

«Πίνακας των τετραγώνων αριθμών από 1 έως 1.000.000.000,
μέσω του οποίου μπορεί κανείς να βρει το ακριβές γινόμενο δύο αριθμών
με μια απλή διαδικασία, πιο πρακτική από τους λογαρίθμους.»

🔹 Συμπέρασμα

Η ιστορία των Ανταγωνιστών των Λογαρίθμων αποκαλύπτει πώς η ανθρώπινη εφευρετικότητα προηγήθηκε της τεχνολογίας.
Πριν την αριθμομηχανή και τους υπολογιστές, οι μαθηματικοί εφεύρισκαν τρόπους να μετατρέπουν δύσκολες πράξεις σε απλές.
Κάθε τέτοια ιδέα —από τους πίνακες τετραγώνων έως τους λογαρίθμους— ήταν ένα βήμα προς τη σύγχρονη υπολογιστική σκέψη.