Το Θεώρημα των Τριών Αποστάσεων — Πώς πολλοί μαθηματικοί έφτασαν στο ίδιο αποτέλεσμα

Το Θεώρημα των Τριών Αποστάσεων (Three-Distance Theorem) είναι ένα από τα πιο κομψά αποτελέσματα της μαθηματικής ανάλυσης και γεωμετρίας.

Οπτικοποίηση του Θεωρήματος των Τριών Αποστάσεων

Αν και διατυπώθηκε αρχικά από τον Hugo Steinhaus, η απόδειξή του εμφανίστηκε ανεξάρτητα από τουλάχιστον τρεις μαθηματικούς περίπου την ίδια χρονική περίοδο — μεταξύ αυτών και ο Stanisław Świerczkowski.

---

Ιστορικό

Σύμφωνα με τον Świerczkowski, όταν βρήκε την απόδειξη, την παρουσίασε στον Steinhaus, ο οποίος την επιβεβαίωσε και την υπέβαλε στην Πολωνική Ακαδημία Επιστημών.

Η εργασία δημοσιεύτηκε το 1956 στο:

BULLETIN DE L'ACADEMIE POLONAISE DES SCIENCES
Κλάση III, Τόμος IV, Τεύχος 9, 29 Ιουνίου 1956.

Την ίδια περίοδο, η Vera Sós και ο σύζυγός της, Paul Turán, επισκέφθηκαν το πανεπιστήμιο του Świerczkowski και γνώριζαν για το αποτέλεσμα, ενώ ο Paul Erdős είχε στενή επαφή με όλους τους εμπλεκόμενους.

Το συνέδεσε πολλές μαθηματικές σχολές της εποχής.

---

Διατύπωση του Θεωρήματος

Θεώρημα των Τριών Αποστάσεων:
Αν τοποθετήσουμε $n$ σημεία σε έναν κύκλο, ξεκινώντας από ένα σημείο και προσθέτοντας διαδοχικά τόξα ίσου μήκους $α$ (σε ακτίνια), τότε οι αποστάσεις μεταξύ των $n$ σημείων κατά μήκος της περιφέρειας του κύκλου παίρνουν το πολύ τρεις διαφορετικές τιμές.

---

Παράδειγμα

Έστω ότι ξεκινάμε από το σημείο $0$ στον κύκλο και προσθέτουμε διαδοχικά μήκη τόξων ίσα με το χρυσό λόγο:

$$\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot 2\pi \mathrm{.}$$

Μετά από $n$ βήματα, τα τόξα χωρίζονται σε το πολύ τρία διαφορετικά μήκη — ένα εκπληκτικό γεγονός, ανεξάρτητα από την τιμή του $\alpha$.