Fair Game στα Μαθηματικά: Πώς Υπολογίζουμε αν Ένα Παιχνίδι Είναι Δίκαιο;

Ένα παράδειγμα από τη θεωρία πιθανοτήτων και την έννοια του “fair game”

Φαντάσου δύο παίκτες, τη Στεφανία και τον Μπάμπης, που αποφασίζουν να παίξουν ένα απλό παιχνίδι με ρίψεις νομίσματος.
Οι κανόνες είναι οι εξής:

• Στην αρχή, η Στεφανία πληρώνει τον Μπάμπη ένα ποσό.

• Στη συνέχεια, ο Μπάμπης ρίχνει ένα νόμισμα.

  • Αν φέρει κορώνα, πληρώνει στη Στεφανία 1€.

  • Αν φέρει γράμματα, ξαναρίχνει το νόμισμα, πληρώνοντας ή κερδίζοντας ανάλογα με το αποτέλεσμα.

• Το παιχνίδι συνεχίζεται μέχρι να ισχύσει κάποιο τέλος (π.χ. μετά από ορισμένο αριθμό ρίψεων ή μόλις κάποιος φτάσει σε ένα συγκεκριμένο ποσό).

Η ερώτηση είναι:
👉 Ποιο πρέπει να είναι το αρχικό ποσό που πληρώνει η Στεφανία, ώστε το παιχνίδι να είναι “δίκαιο”;
Δηλαδή, ώστε κανένας από τους δύο να μην έχει πλεονέκτημα.

---

Τι σημαίνει «δίκαιο» παιχνίδι;

Στα μαθηματικά, ένα fair game είναι αυτό στο οποίο η αναμενόμενη τιμή (expected value) για κάθε παίκτη είναι μηδέν.
Με άλλα λόγια, αν το παιχνίδι παιζόταν άπειρες φορές, κανένας δεν θα είχε μακροπρόθεσμο κέρδος ή ζημία.

Στο παράδειγμά μας, κάθε ρίψη νομίσματος έχει πιθανότητα ½ να δώσει κορώνα και ½ γράμματα.
Όμως, το σύνολο των γύρων δημιουργεί μια αλυσίδα πιθανοτήτων — και εκεί αρχίζει η ομορφιά του προβλήματος.

---

Η Πιθανότητα της Νίκης

Αν υποθέσουμε ότι το παιχνίδι σταματά όταν για πρώτη φορά φέρουμε κορώνα, τότε:

• Η πιθανότητα να συμβεί στην 1η ρίψη είναι $\frac{1}{2}$.

• Αν δεν συμβεί, η πιθανότητα να συμβεί στη 2η ρίψη είναι $\frac{1}{4}$.

• Στην 3η ρίψη, $\frac{1}{8}$.

• Και ούτω καθεξής.

Η συνολική πιθανότητα να κερδίσει τελικά η Σου (δηλαδή να συμβεί “κορώνα” κάποια στιγμή) είναι:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$$

Επομένως, αργά ή γρήγορα, η Στεφανία σίγουρα θα κερδίσει.
Το πρόβλημα δεν είναι αν θα κερδίσει — αλλά πόσα χρήματα θα πρέπει να έχει πληρώσει στην αρχή ώστε η αναμενόμενη αξία να είναι ίση με το μηδέν.

---

Ο Υπολογισμός της Αναμενόμενης Τιμής

Ας θεωρήσουμε ότι η Στεφανία πληρώνει αρχικά x ευρώ.
Κάθε φορά που βγαίνει κορώνα, κερδίζει 1 ευρώ·
όμως αυτή η πιθανότητα μειώνεται εκθετικά όσο περνάει ο χρόνος.

Η αναμενόμενη αξία είναι:

$$E = -x + \left(\frac{1}{2}\cdot1 + \frac{1}{4}\cdot1 + \frac{1}{8}\cdot1 + \cdots\right)$$

Το άθροισμα στο δεύτερο σκέλος είναι γεωμετρική σειρά με άθροισμα 1.
Άρα:

$$E=-x+1$$

Για να είναι το παιχνίδι «δίκαιο», πρέπει $E = 0$, οπότε:

$$x=1$$

✅ Η Στεφανάι πρέπει να πληρώσει 1 ευρώ στην αρχή — όχι 2, όπως νομίζει στην αρχική εκδοχή του παιχνιδιού.

---

Ένα Μάθημα για τη Δικαιοσύνη

Αυτό το απλό παιχνίδι δείχνει κάτι βαθύτερο:
η έννοια του “δίκαιου” στα μαθηματικά δεν είναι θέμα αίσθησης, αλλά λογισμού.
Η διαίσθηση μπορεί να σε ξεγελάσει — ειδικά όταν οι πιθανότητες κρύβονται μέσα σε ακολουθίες ή άπειρες διαδικασίες.

Το παράδειγμα αυτό σχετίζεται στενά με τη θεωρία του αναμενόμενου κέρδους και με τις αρχές που καθοδηγούν τη σύγχρονη θεωρία παιγνίων, την οικονομική ανάλυση κινδύνου, αλλά και την τεχνητή νοημοσύνη:
κάθε «ορθολογικός» παίκτης πρέπει να επιλέγει στρατηγικές που μεγιστοποιούν τη μαθηματική του προσδοκία.

---

Από τον Πασκάλ στο Σήμερα

Ο προβληματισμός για τα “fair games” δεν είναι καινούριος.
Ο Blaise Pascal και ο Pierre de Fermat ήταν οι πρώτοι που διατύπωσαν τέτοιου είδους ερωτήματα τον 17ο αιώνα, προσπαθώντας να υπολογίσουν πώς πρέπει να μοιράζονται τα στοιχήματα σε παιχνίδια που διακόπτονται πρόωρα.

Από εκεί γεννήθηκε ολόκληρη η θεωρία πιθανοτήτων.

Σήμερα, η ίδια λογική κρύβεται πίσω από αλγορίθμους τεχνητής νοημοσύνης, στατιστικά μοντέλα, επενδυτικές στρατηγικές και παιχνίδια προσομοίωσης.