Πώς να Ανακαλύψετε Όλες τις Πυθαγόρειες Τριάδες με Απλά Αριθμητικά Μοτίβα

Οι περισσότεροι γνωρίζουμε τι σημαίνει Πυθαγόρεια τριάδα: ένα σύνολο τριών φυσικών αριθμών $a, b, c$ που ικανοποιούν τη σχέση
${\mathrm{ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; a}}^2+b^2=c^2\mathrm{.}$

Οι πιο γνωστές τριάδες είναι:
                                                              (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61).

Όμως, υπάρχει άραγε ένας απλός τρόπος να τις δημιουργήσουμε όλες;

Αν παρατηρήσουμε τα παραδείγματα, θα δούμε ότι κάθε επόμενη τριάδα υπακούει σε αριθμητικό μοτίβο.
Για παράδειγμα:

$$3^2=4+5,5^2=12+13,7^2=24+25.$$

Ακολουθώντας το μοτίβο, βρίσκουμε:

$$9^2=40+41,{11}^2=60+61,$$

και πράγματι, οι τριάδες (9, 40, 41) και (11, 60, 61) είναι Πυθαγόρειες!

Η παρατήρηση αυτή οδηγεί σε έναν γενικό τύπο:
Αν ο πρώτος αριθμός είναι περιττός, δηλαδή $n = 2k + 1$, τότε οι άλλοι δύο δίνονται από:

$$a=2k(k+1),b=2k(k+1)+1.$$

Αυτός ο τύπος παράγει όλες τις τριάδες του τύπου (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), κ.ο.κ.

Αντίστοιχα, για άρτιους αριθμούς, έχουμε τριάδες όπως:
                                                                     (4, 3, 5), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (10, 24, 26).

Οι δύο κατηγορίες σχηματίζουν ένα πανέμορφο αριθμητικό σύμπαν — εκεί όπου η παρατήρηση, η δοκιμή και η αλγεβρική σκέψη συνδυάζονται για να αποκαλύψουν τη γεωμετρία πίσω από την απλότητα.