EisatoponAI: Οι Παλινδρομικοί Αριθμοί: Όταν οι Αριθμοί Καθρεφτίζονται στον Εαυτό τους

Οι αριθμοί που κοιτούν τον καθρέφτη

Οι παλινδρομικοί αριθμοί (palindromic numbers) είναι θετικοί ακέραιοι που διαβάζονται το ίδιο από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα — όπως οι 11, 131, 1221, 4334.
Αυτή η «συμμετρία» τους έχει μελετηθεί από μαθητές και μαθηματικούς, αποκαλύπτοντας μερικά εντυπωσιακά μοτίβα.

1️⃣ Κάθε παλινδρομικός αριθμός με άρτιο πλήθος ψηφίων διαιρείται με το 11

Για παράδειγμα:

11 ÷ 11 = 1
1221 ÷ 11 = 111
4334 ÷ 11 = 394

Αντίθετα, το 121 (που έχει περιττό πλήθος ψηφίων) δεν είναι πολλαπλάσιο του 11.
Η εξήγηση βρίσκεται στον κανόνα διαίρεσης με το 11:

Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 όταν η διαφορά (άθροισμα ψηφίων σε μονές θέσεις – άθροισμα ψηφίων σε ζυγές θέσεις) είναι πολλαπλάσιο του 11.

Στους παλινδρομικούς με άρτιο πλήθος ψηφίων, οι θέσεις συμμετρικά έχουν ίσους αριθμούς, οπότε η διαφορά μηδενίζεται.

2️⃣ Προσθέτοντας έναν αριθμό με τον «καθρέφτη» του

Αν πάρουμε έναν αριθμό, αντιστρέψουμε τα ψηφία του και προσθέσουμε, μερικές φορές προκύπτει παλινδρομικό αποτέλεσμα.
Παράδειγμα:

134 + 431 = 565 → παλινδρομικός
517 + 715 = 1232 → όχι, αλλά αν το επαναλάβουμε:
1232 + 2321 = 3553 → παλινδρομικός!

Αυτό το φαινόμενο οδηγεί στη μελέτη των λεγόμενων Lychrel numbers, δηλαδή αριθμών που δεν δίνουν ποτέ παλινδρομικό αποτέλεσμα, όσο κι αν επαναλάβεις τη διαδικασία.

Ένα διάσημο παράδειγμα είναι ο 196, που μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί αν τελικά παράγει παλινδρομικό αποτέλεσμα — ένα ανοιχτό πρόβλημα της θεωρίας αριθμών!

3️⃣ Παλινδρομικά γινόμενα

Μερικά γινόμενα έχουν αυτή τη συμμετρία από μόνα τους:

23 × 64 = 1472
46 × 32 = 1472 ✅
93 × 26 = 2418
62 × 39 = 2418 ✅

Γιατί συμβαίνει αυτό; Επειδή η αντιστροφή των παραγόντων συχνά απλώς αντιστρέφει τη θέση των ψηφίων στο αποτέλεσμα — ένα σπάνιο αλλά υπέροχο αριθμητικό μοτίβο.
Είναι ενδιαφέρον να αναρωτηθούμε: υπάρχουν άπειρα τέτοια ζεύγη ή είναι περιορισμένα;

💡 Ερωτήματα για προβληματισμό

Υπάρχουν παλινδρομικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 11;
Για ποιους αριθμούς η πρόσθεση με τον αντίστροφό τους δίνει πάντα παλινδρομικό αποτέλεσμα;
Υπάρχει τελικό μοτίβο ή ο κόσμος των παλινδρομικών αριθμών είναι απέραντος όπως και η συμμετρία τους;