Πριν φτάσει σε κάθε σπίτι, περνά από ένα ποτάμι όπου ψαρεύει και διπλασιάζει τα ψάρια που έχει.
Σε κάθε φίλο δίνει τον ίδιο αριθμό ψαριών.
Όταν ολοκληρώνει και την τρίτη επίσκεψη, του απομένει ακριβώς ένα ψάρι.
Να βρεθεί πόσα ψάρια είχε αρχικά.(Ζητούνται όλες οι πιθανές τιμές.)
3 σχόλια:
Όλοι οι θετικοί ακέραιοι ισοτιμίας -1 mod3..
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι ο ψαράς είχε αρχικά x ψάρια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάθε φορά που ψαρεύει στο ποτάμι, τα ψάρια του διπλασιάζονται.
Κάθε φορά που επισκέπτεται φίλο, δίνει y ψάρια.
• Αρχικά: x ψάρια
• Πρώτο ψάρεμα: 2x
• Δίνει στον πρώτο φίλο y ψάρια. Μένει υπόλοιπο:2x−y
• Δεύτερο ψάρεμα διπλασιάζεται το υπόλοιπο:2*(2x−y)=4x−2y
• Δίνει στον δεύτερο φίλο y ψάρια. Μένει υπόλοιπο: 4x−2y-y=4x - 3y
• Τρίτο ψάρεμα διπλασιάζεται το υπόλοιπο:2*(4x−3y)=8x−6y
• Δίνει στον τρίτο φίλο y ψάρια. Μένει υπόλοιπο 8x−6y-y=8x -7y
Mετά την τρίτη επίσκεψη του μένει ακριβώς 1 ψάρι, οπότε έχουμε την εξίσωση:
8x−7y=1 === 8x=7y+1 === x=(7y+1)/8 (1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "y" τις τιμές της αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο τον αριθμό 1 με λόγο τον αριθμό 8, έως το N, βλέπουμε ότι οι τιμές που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "x" είναι η αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο τον αριθμό 1 με λόγο τον αριθμό 7 έως το Ν.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε:
Για y=1: x=(7y+1)/8 === x=(7*1+1)/8 === x=(7+1)/8 === x=8/8 === x=1 (2)
Για y=9: x=(7y+1)/8 === x=(7*9+1)/8 === x=(63+1)/8 === x=64/8 === x=8 (3)
Για y=17: x=(7y+1)/8 === x=(7*17+1)/8 === x=(119+1)/8 === x=120/8 === x=15 (4)
* * * *
* * * *
Άρα οι αρχικές ποσότητες ψαριών μπορούν να είναι οποιοδήποτε αριθμό της μορφής:
1,8,18,22,29,...
Ο αρχικός αριθμός ψαριών, στη γενική περίπτωση, είναι ο χ = 1+7κ και ο αντίστοιχος αριθμός ψαριών που δίνει σε κάθε φίλι είναι ο ψ = 1+8κ (κ=0,1,2,3,..). Αυτή είναι η γενική λύση της διοφαντικής εξίσωσης 8χ-7ψ = 1
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι αρχικές τιμές χ είναι οι 1, 8, 15, 22,.. και οι αντίστοιχες τιμές ψ Οι 1, 9, 17, 25,..