Παραβολές χωρίς… παράβολα: Πρακτικός οδηγός για τριώνυμο δευτέρου βαθμού

Το τριώνυμο \(y = ax^2 + bx + c\) (με \(a \neq 0\)) εμφανίζεται παντού: από διαγωνισμούς μέχρι μοντελοποίηση κινήσεων. Παρακάτω συνδυάζουμε αλγεβρική και γεωμετρική σκέψη, ώστε να λύνεις γρήγορα προβλήματα χωρίς «βαρύ» λογισμό.

1) Κορυφή και μέγιστο/ελάχιστο με ολοκλήρωση τετραγώνου

Κάθε παραβολή γράφεται σε κορυφαία μορφή:

\[ y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}. \]

Κορυφή: \(V\!\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}\right)\)

• Αν \(a > 0\): η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω → ελάχιστο στην κορυφή.
• Αν \(a < 0\): η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω → μέγιστο στην κορυφή.

Παράδειγμα

Για \(y=-2x^2+4x-5\):

\[ y=-2(x^2-2x)-5=-2[(x-1)^2-1]-5=-2(x-1)^2-3. \]

Άρα η συνάρτηση έχει μέγιστο \(-3\) στο \(x=1\).

2) Πρόσημα συντελεστών από το γράφημα

Χρήσιμες παρατηρήσεις από το γράφημα της \(y=ax^2+bx+c\):

• \(a\): καθορίζει την κατεύθυνση των κλάδων
  • \(a>0\) → ανοίγει προς τα πάνω (∪)
  • \(a<0\) → ανοίγει προς τα κάτω (∩)
• \(c=f(0)\): η τεταγμένη του σημείου τομής με τον άξονα \(y\).
• \(-\dfrac{b}{2a}\): η τετμημένη της κορυφής.
  Αν η κορυφή είναι δεξιά του μηδενός, τότε \(-\dfrac{b}{2a} > 0\) και από εκεί προκύπτει το πρόσημο του \(b\).

Σημείωση: Ακόμη κι όταν οι ρίζες είναι μιγαδικές, τα συμπεράσματα για τα \(a\) και \(c\) παραμένουν οπτικά ορατά από το γράφημα.

3) Άθροισμα δυνάμεων ριζών

Πρόβλημα

Δίνονται οι ρίζες \(x_1, x_2\) της εξίσωσης \(x^2 - 2rx - 7r^2 = 0\) και ισχύει \(x_1^2 + x_2^2 = 18\). Να βρεθεί το \(r\).

Λύση

Χρησιμοποιούμε τους τύπους του Vieta και την ταυτότητα:

\(x_1 + x_2 = 2r,\; x_1x_2 = -7r^2\) και \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\).

\[ x_1^2 + x_2^2 = (2r)^2 - 2(-7r^2) = 4r^2 + 14r^2 = 18r^2 \Rightarrow r^2=1 \Rightarrow r=\pm1. \]

Έλεγχος: \(\Delta = (2r)^2 + 4\cdot 7r^2 = 32r^2 > 0\) για κάθε \(r\neq 0\), άρα και οι δύο τιμές είναι αποδεκτές.

4) Πότε οι ρίζες έχουν διαφορετικά πρόσημα και είναι εκτός του \([-1,1]\)

Για \(f(x)=x^2+px+q\) θέλουμε ρίζες \(x_1<x_2\) με \(x_1<-1\) και \(x_2>1\).

Γεωμετρική ερμηνεία: Η παραβολή (που ανοίγει προς τα πάνω) πρέπει να είναι αρνητική στα \(x=-1\) και \(x=1\):

\[ f(-1) = 1 - p + q < 0, \qquad f(1) = 1 + p + q < 0. \]

Οι δύο ανισώσεις (μαζί με \(a=1>0\)) είναι αναγκαίες και ικανές ώστε οι τομές με τον άξονα \(x\) να «αγκαλιάζουν» το \([-1,1]\), δηλαδή \(x_1 < -1 < 0 < 1 < x_2\).

5) Γενικό κριτήριο: Ρίζες πραγματικές και > d

Για \(f(x)=ax^2+bx+c\), ζητάμε ρίζες πραγματικές και \(\min\{x_1,x_2\} > d\). Ισοδύναμα:

1. \(\Delta = b^2 - 4ac \ge 0\) (υπάρχουν πραγματικές ρίζες).
2. \(-\dfrac{b}{2a} > d\) (η κορυφή δεξιά του \(d\)).
3. \(a\cdot f(d) > 0\) (το πρόσημο του \(f(d)\) «συμφωνεί» με εκείνο του \(a\)).

Διαισθητική ερμηνεία: Η παραβολή τέμνει τον άξονα \(x\) δεξιά από το \(d\), και στο \(x=d\) βρίσκεται από την πλευρά που «ταιριάζει» με το άνοιγμά της.

Εφαρμογή

Για \((r-4)x^2 - 2(r-3)x + r = 0\) ζητάμε ρίζες > \(-1\). Θέτουμε \(d=-1\) και ελέγχουμε: \(\Delta \ge 0\), \(-\dfrac{b}{2a} > -1\), \(a\cdot f(-1) > 0\).

Προσοχή: Για \(r=4\), η εξίσωση γίνεται γραμμική: \(-2x+4=0 \Rightarrow x=2 > -1\).

Το σύστημα δίνει τελικά: \(r \in \{4\} \cup (-\infty, 5/2) \cup (4, 9/2)\).

Mini-βιβλιοθήκη τύπων

Τύπος	Έκφραση
Άθροισμα ριζών	\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)
Γινόμενο ριζών	\(x_1x_2 = \dfrac{c}{a}\)
Κορυφή	\(\left(-\dfrac{b}{2a},\ \dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\)
Μετατόπιση	\(y=a(x-\alpha)^2+\beta\) μετακινεί την \(y=ax^2\) στο \((\alpha,\beta)\)
Διακρίνουσα	\(\Delta=b^2-4ac\)

Ασκήσεις για εξάσκηση

1. Αν \(x_1,x_2\) είναι ρίζες του \(x^2+px+q=0\), βρες \(p,q\) ώστε οι \(x_1+1,\ x_2+1\) να είναι ρίζες του \(x^2-Px+pq=0\).
2. Μια παραβολή \(y=ax^2+bx+c\) τέμνει δύο παράλληλες ευθείες στα τμήματα \(AB\) και \(CD\). Δείξε ότι τα μέσα τους ανήκουν σε ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y\).
3. Αν το \(ax^2+bx+c\) δεν έχει πραγματικές ρίζες και ισχύει \(a-b+c<0\), καθόρισε το πρόσημο του \(c\).
4. Αν \(x_1\neq x_2\) είναι ρίζες του \(ax^2+bx+c=0\), τότε το \(x_0\) βρίσκεται μεταξύ τους αν και μόνο αν \(a(ax_0^2+bx_0+c)<0\).
5. Δείξε ότι κάθε ρητή ρίζα του \(x^2+px+q=0\) με ακέραια \(p,q\) είναι ακέραια.
6. Αν \(S_m=x_1^m+x_2^m\) για ρίζες \(x_1,x_2\) του \(ax^2+bx+c=0\), απόδειξε: \[ aS_m+bS_{m-1}+cS_{m-2}=0\quad (m\ge 2). \]