🏀 Ο Διαγωνισμός Σουτ του CBA: Μια Μαθηματική Στρατηγική Πίσω από το Τυχαίο

 

📖 Η Ιστορία

Στη δεκαετία του ’80, η Continental Basketball Association (CBA) θέλησε να ενισχύσει το ενδιαφέρον του κοινού με έναν πρωτότυπο διαγωνισμό: “The $1,000,000 Easy Street Shootout.”

Οι κανόνες ήταν απλοί:

1. Οι παίκτες κληρώνονταν για τη σειρά εκτέλεσης.
2. Κάθε παίκτης επιχειρούσε ένα μόνο σουτ από όποια απόσταση ήθελε.
3. Ο νικητής ήταν εκείνος που έβαζε το μακρύτερο σουτ.
4. Αν όλοι αστοχούσαν, ο διαγωνισμός συνεχιζόταν σε sudden death: ο πρώτος που σκόραρε κέρδιζε.

Μια λεπτομέρεια όμως έκανε το παιχνίδι μη ισότιμο: 👉 Αν δύο παίκτες έβαζαν σουτ από την ίδια απόσταση, νικούσε ο δεύτερος.

🧮 Το Μαθηματικό Μοντέλο

Ας υποθέσουμε ότι:

• Όλοι οι παίκτες είναι ίσης ικανότητας.
• Η πιθανότητα ευστοχίας s(d) μειώνεται όσο αυξάνεται η απόσταση d:
  s(0)=1, s(90)=0.
• Οι παίκτες επιλέγουν στρατηγικά την απόσταση που θα ρίξουν.

Για αρχή, ας μελετήσουμε την απλούστερη περίπτωση: Δύο παίκτες (Α και Β).

⚖️ Παιχνίδι Δύο Παικτών

1. Ο παίκτης Α ρίχνει πρώτος από απόσταση d₁ με πιθανότητα επιτυχίας s₁ = s(d₁).
2. Ο παίκτης Β βλέπει το αποτέλεσμα και αποφασίζει τι θα κάνει.

🏀 Αν ο Α βάλει:

Ο Β μπορεί να ρίξει από ίδια απόσταση (και να κερδίσει στην ισοπαλία). Πιθανότητα επιτυχίας = s₁. Αν ρίξει πιο μακριά, η πιθανότητα μειώνεται. Άρα η πιθανότητα να κερδίσει ο Β είναι s₁.

❌ Αν ο Α αστοχήσει:

Ο Β χρειάζεται μόνο ένα εύστοχο για να κερδίσει. Επιλέγει την απόσταση με μέγιστη πιθανότητα pₘₐₓ. Άρα P(Β νικά | Α αστόχησε) = pₘₐₓ.

🧠 Συνολική πιθανότητα νίκης του Β:

P_B = s₁² - s₁ pₘₐₓ + pₘₐₓ

Ο Α επιλέγει s₁ για να ελαχιστοποιήσει το P_B.

s₁* = pₘₐₓ / 2
P_B(min) = pₘₐₓ (1 - pₘₐₓ / 4)

📊 Παράδειγμα

pₘₐₓ	s₁*	Πιθανότητα νίκης Β
1.0	0.5	0.75
0.8	0.4	0.64
0.6	0.3	0.51

📌 Ακόμη κι όταν όλοι είναι εξίσου καλοί, ο δεύτερος παίκτης έχει πλεονέκτημα. Η πληροφορία από το σουτ του πρώτου του επιτρέπει προσαρμογή.

🧩 Γενίκευση για Περισσότερους Παίκτες

Όσο περισσότεροι συμμετέχουν:

• Τόσο πιο πολύ ωφελείσαι αν ρίχνεις τελευταίος.
• Οι πρώτοι πρέπει να ρισκάρουν με πιο μακρινά σουτ.
• Οι τελευταίοι μπορούν να επιλέξουν ασφαλέστερα, ισοφαρίζοντας προηγούμενα σουτ.

Η βέλτιστη στρατηγική σχηματίζει κλίμακα αποστάσεων: όσο πιο πίσω η σειρά σου, τόσο μικρότερη απόσταση επιλέγεις.

💡 Παιδαγωγική Εφαρμογή

Μπορείς να ζητήσεις από τους μαθητές:

1. Να μοντελοποιήσουν το παιχνίδι για 3 ή 4 παίκτες.
2. Να προσομοιώσουν το παιχνίδι (Python, Excel ή Scratch).
3. Να εξετάσουν για ποιο n σταθεροποιείται η πιθανότητα νίκης του τελευταίου.
4. Να αναλύσουν τι αλλάζει αν η ισοπαλία δεν ευνοεί τον δεύτερο.

🧠 Τι Μαθαίνουμε

• Οι πιθανότητες περιγράφουν στρατηγική συμπεριφορά.
• Η σειρά εκτέλεσης επηρεάζει καθοριστικά το αποτέλεσμα.
• Το παιχνίδι γίνεται εργαλείο για πραγματικές αποφάσεις.